正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6295


题目大意

求所有\(n\)个点的弱联通\(DAG\)数量。

\(1\leq n\leq 10^5\)


解题思路

先不考虑弱联通的限制,求\(n\)个点的\(DAG\)数量。

设为\(f_i\),那么有式子

\[f_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}2^{i(n-i)}f_{n-i}(-1)^{i+1}
\]

这个式子的意思是说新建一层出度为\(0\)的点,\(\binom{n}{i}\)很显然,然后\(2^{i(n-i)}\)是连边,然后\(f_{n-i}\)表示前面的方案。之后会发现这样的连法其实不保证原来出度为\(0\)的点现在都不为\(0\)了,也就是说这个是至少有\(i\)个出度为\(0\)的点的方案,那么要有一个容斥系数\((-1)^{i+1}\)。

然后把\(2^{i(n-i)}\)拆成\(2^{\binom{n}{2}}2^{-\binom{i}{2}}2^{-\binom{n-i}{2}}\)化一下两边的式子就是

\[\frac{f_n}{2^{\binom{n}{2}}n!}=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{2^{\binom{i}{2}}i!}\frac{f_{n-i}}{2^{\binom{n-i}{2}}(n-i)!}
\]

很经典的式子,设\(G(x)[n]=\frac{f_n}{2^{\binom{n}{2}}n!},F(x)[n]=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{\binom{n}{2}}n!}\)

那么有

\[G=GF+1\Rightarrow G=\frac{1}{1-F}
\]

多项式求逆就可以得到\(G\)。

然后得出数组\(f\),要求弱联通的话挺显然的就是如果弱联通的生成函数是\(H\),没有要求的是\(F\)

那么有

\[e^H=F\Rightarrow H=\ln(F)
\]

所以在再个多项式ln就好了。

时间复杂度:\(O(n\log n)\)


code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1<<17,M=N*8,P=998244353;
ll T,F[M],G[M],tmp[M],t1[M],t2[M],r[M];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void NTT(ll *f,ll n,ll op){
for(ll i=0;i<n;i++)
if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
for(ll p=2;p<=n;p<<=1){
ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
for(ll k=0;k<n;k+=p){
ll buf=1;
for(ll i=k;i<k+len;i++){
ll tt=buf*f[i+len]%P;
f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
f[i]=(f[i]+tt)%P;
buf=buf*tmp%P;
}
}
}
if(op==-1){
ll invn=power(n,P-2);
for(ll i=0;i<n;i++)
f[i]=f[i]*invn%P;
}
return;
}
void GetInv(ll *f,ll *g,ll n){
if(n==1){g[0]=power(f[0],P-2);return;}
GetInv(f,g,n>>1);ll m=n<<1;
for(ll i=0;i<n;i++)tmp[i]=F[i];
for(ll i=n;i<m;i++)tmp[i]=0;
for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);
NTT(tmp,m,1);NTT(g,m,1);
for(ll i=0;i<m;i++)g[i]=(2*g[i]-tmp[i]*g[i]%P*g[i]%P+P)%P;
NTT(g,m,-1);
for(ll i=n;i<m;i++)g[i]=0;
return;
}
void GetD(ll *f,ll *g,ll n){
for(ll i=0;i<n-1;i++)
g[i]=f[i+1]*(i+1)%P;
g[n-1]=0;return;
}
void GetJ(ll *f,ll *g,ll n){
for(ll i=1;i<n;i++)
g[i]=f[i-1]*power(i,P-2)%P;
g[0]=0;return;
}
void GetLn(ll *f,ll *g,ll n){
memset(t1,0,sizeof(t1));
memset(t2,0,sizeof(t2));
// n<<=1;
GetD(f,t1,n);
GetInv(f,t2,n);
ll m=n<<1;
for(ll i=0;i<m;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(m>>1):0);
NTT(t1,m,1);NTT(t2,m,1);
for(ll i=0;i<m;i++)t1[i]=t1[i]*t2[i]%P;
NTT(t1,m,-1);
for(ll i=n;i<m;i++)t1[i]=0;
GetJ(t1,g,n);return;
}
signed main()
{
F[1]=1;
for(ll i=2;i<N;i++)F[i]=P-F[P%i]*(P/i)%P;
F[0]=1;
for(ll i=1;i<N;i++)F[i]=F[i-1]*F[i]%P;
for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=F[i]*power(power(2,i*(i-1)/2%(P-1)),P-2)%P;
for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=(i&1)?(P-F[i]):F[i];
GetInv(F,G,N);
for(ll i=0;i<N;i++)F[i]=G[i]*power(2,i*(i-1)/2%(P-1))%P;
memset(G,0,sizeof(G));
GetLn(F,G,N);
scanf("%lld",&T);
for(ll i=1,pw=1;i<=T;i++,pw=pw*i%P)
printf("%lld\n",G[i]*pw%P);
return 0;
}

P6295-有标号 DAG 计数【多项式求逆,多项式ln】的更多相关文章

  1. P6295 有标号 DAG 计数

    P6295 有标号 DAG 计数 题意 求 \(n\) 个点有标号弱联通 DAG 数量. 推导 设 \(f_i\) 表示 \(i\) 个点有标号 DAG 数量(不保证弱联通),有: \[f(i)=\s ...

  2. FFT模板 生成函数 原根 多项式求逆 多项式开根

    FFT #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> ...

  3. 【BZOJ3456】轩辕朗的城市规划 无向连通图计数 CDQ分治 FFT 多项式求逆 多项式ln

    题解 分治FFT 设\(f_i\)为\(i\)个点组成的无向图个数,\(g_i\)为\(i\)个点组成的无向连通图个数 经过简单的推导(枚举\(1\)所在的连通块大小),有: \[ f_i=2^{\f ...

  4. bzoj 3456 城市规划——分治FFT / 多项式求逆 / 多项式求ln

    题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 分治FFT: 设 dp[ i ] 表示 i 个点时连通的方案数. 考虑算补集:连通的方 ...

  5. NTT+多项式求逆+多项式开方(BZOJ3625)

    定义多项式$h(x)$的每一项系数$h_i$,为i在c[1]~c[n]中的出现次数. 定义多项式$f(x)$的每一项系数$f_i$,为权值为i的方案数. 通过简单的分析我们可以发现:$f(x)=\fr ...

  6. 2019.01.01 bzoj3625:小朋友和二叉树(生成函数+多项式求逆+多项式开方)

    传送门 codeforces传送门codeforces传送门codeforces传送门 生成函数好题. 卡场差评至今未过 题意简述:nnn个点的二叉树,每个点的权值KaTeX parse error: ...

  7. 【BZOJ3625】【codeforces438E】小朋友和二叉树 生成函数+多项式求逆+多项式开根

    首先,我们构造一个函数$G(x)$,若存在$k∈C$,则$[x^k]G(x)=1$. 不妨设$F(x)$为最终答案的生成函数,则$[x^n]F(x)$即为权值为$n$的神犇二叉树个数. 不难推导出,$ ...

  8. [Codeforces438E][bzoj3625] 小朋友和二叉树 [多项式求逆+多项式开根]

    题面 传送门 思路 首先,我们把这个输入的点的生成函数搞出来: $C=\sum_{i=0}^{lim}s_ix^i$ 其中$lim$为集合里面出现过的最大的数,$s_i$表示大小为$i$的数是否出现过 ...

  9. 洛谷 P6295 - 有标号 DAG 计数(生成函数+容斥+NTT)

    洛谷题面传送门 看到图计数的题就条件反射地认为是不可做题并点开了题解--实际上这题以我现在的水平还是有可能能独立解决的( 首先连通这个条件有点棘手,我们尝试把它去掉.考虑这题的套路,我们设 \(f_n ...

随机推荐

  1. MongoDB使用命令创建用户权错误分析--- 权限不够Error:couldn't add user:command createUser requires authentication

    MongoDB使用命令创建用户权错误分析 错误一:权限不够Error:couldn't add user:command createUser requires authentication. 解决方 ...

  2. webpack编译遇到的问题:Error: Cannot find module 'webpack-cli/bin/config-yargs'

    运行npm run dev遇到的问题:Error: Cannot find module 'webpack-cli/bin/config-yargs' // 当前package.json 文件 ​ & ...

  3. windows10右键我的电脑,点击管理,提示该文件没有与之关联的应用来执行该操作,请安装应用,若已经安装应用,请在默认应用设置页面中创建关联……

    方法一 1.按WIN+R 调出运行对话框,然后输入bai gpedit.msc 回车:2.展开"计du算机配置"zhi-"Windows设置"-"安全 ...

  4. C# wpf中关于binding的converter无效的情况

    最近碰到bingding设置了convert转换无效的问题.困扰了我好久.这里记录分析一下. 先说下现象 我把TextBox的text属性  绑定到了对应的 convert.代码如下 希望吧pd_no ...

  5. spring学习日志四

    一.spring对JDBC的支持 JdbcTemplate 简介 为了使 JDBC 更加易于使用, Spring 在 JDBC API 上定义了一个抽象层, 以此建立一个 JDBC 存取框架. 作为 ...

  6. Mysql 修改本地密码

    第一步 update user set authentication_string=password('root') where user='root' and host='localhost'; 第 ...

  7. JMeter结果树响应数据中文乱码

    打开apache-jmeter-2.11\bin\jmeter.properties文件,搜索"encoding"关键字,找到如下配置: # The encoding to be ...

  8. C程序设计学习笔记(完结)

    时间:2015-4-16 09:17 不求甚解,每有会意,欣然忘食.学习的过程是痛苦的 第1章    程序设计和C语言     第2章    算法--程序的灵魂   -算法的五个特点          ...

  9. Java同步之线程池详解

    带着问题阅读 1.什么是池化,池化能带来什么好处 2.如何设计一个资源池 3.Java的线程池如何使用,Java提供了哪些内置线程池 4.线程池使用有哪些注意事项 池化技术 池化思想介绍 池化思想是将 ...

  10. vue 引用省市区三级联动(插件)

    vue 用省市区三级联动之傻瓜式教程(复制粘贴即用) npm 下载 npm install v-distpicker --save main.js //引入 省市区三级联动 import Distpi ...