[cf1479E]School Clubs

对于当前班级状态$S$，定义一个函数$\varphi(S)$，要求其满足：

令结束状态为$S_{end}$，对于任意$S\ne S_{end}$，若其下一个状态为$S'$，则$E(\varphi(S)-\varphi(S'))=1$

由此，归纳即可得到$S$的期望结束步数为为$\varphi(S)-\varphi(S')$

对于一个状态$S$，注意到其与班级编号无关，因此不妨假设其第$i$个班级有$a_{i}$个人（共$m$个班级），再定义一个函数$g(x)$，令$\varphi(S)=\sum_{i=1}^{m}g(a_{i})$

由于为空的班级不影响状态，因此$g(0)=0$

更进一步的，根据$E(\varphi(S)-\varphi(S'))=1$，可得
$$
\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\frac{a_{i}}{n}(\Delta_{g}(a_{i}-1)-g(1))+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\frac{a_{i}a_{j}}{n^{2}}(\Delta_{g}(a_{i}-1)-\Delta_{g}(a_{j}-[i=j]))=1
$$
（其中$\Delta_{g}(x)=g(x+1)-g(x)$）

后者在$i=j$时为0，在$i\ne j$时将两个枚举拆开，即
$$
\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{m}\frac{a_{i}}{n}(\Delta_{g}(a_{i}-1)-g(1))+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}(n-a_{i})}{n^{2}}(\Delta_{g}(a_{i}-1)-\Delta_{g}(a_{i}))=1
$$
将其整理后，即
$$
\sum_{i=1}^{m}\frac{a_{i}}{2n}[(2-\frac{a_{i}}{n})\Delta_{g}(a_{i}-1)-(1-\frac{a_{i}}{n})\Delta_{g}(a_{i})-g(1)]=1
$$
当对于每一个$a_{i}$，中括号内的值恰为$2$时，根据$\sum_{i=1}^{m}a_{i}=n$，即成立

令$g(1)=-2$，再化简后即可得到$\Delta_{g}(x)$
$$
\Delta_{g}(x)=\frac{2n-x}{n-x}\Delta_{g}(x-1)=\prod_{i=1}^{x}\frac{2n-i}{n-i}\Delta_{g}(0)
$$
根据$g(0)=0$以及$g(1)=-2$，可得初始状态$\Delta_{g}(0)=-2$

由此，可得$g(x)=g(0)+\sum_{i=0}^{x-1}\Delta_{g}(i)=-2\sum_{i=0}^{x-1}\prod_{j=1}^{i}\frac{2n-j}{n-j}$，问题即求$\sum_{i=1}^{m}g(a_{i})-g(n)$

之后暴力$o(n)$计算即可，为了避免每一次求逆，需要用分数的形式计算，以及使用”GNU G++17 9.2.0(64 bit,msys 2)​“的编译器即可通过

标算做到了$o(\sqrt{n}\log n+m\sqrt{n})$的复杂度，可以看cf上的题解

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define M 1005
 4 #define mod 998244353
 5 #define ll long long
 6 int n,m,x,ans,a[M];
 7 ll qpow(int n,int m){
 8     ll s=n,ans=1;
 9     while (m){
10         if (m&1)ans=ans*s%mod;
11         s=s*s%mod;
12         m>>=1;
13     }
14     return ans;
15 }
16 ll g(int x){
17     ll s1=1,s2=1,ans1=0,ans2=1;
18     for(int i=1;i<=x;i++){
19         ans1=(s1*ans2+s2*ans1)%mod;
20         ans2=s2*ans2%mod;
21         s1=s1*(2*n-i)%mod;
22         s2=s2*(n-i)%mod;
23     }
24     return (mod-2)*ans1%mod*qpow(ans2,mod-2)%mod;
25 }
26 int main(){
27     scanf("%d",&m);
28     for(int i=1;i<=m;i++){
29         scanf("%d",&a[i]);
30         n+=a[i];
31     }
32     for(int i=1;i<=m;i++)ans=(ans+g(a[i]))%mod;
33     printf("%d",(ans+mod-g(n))%mod);
34 }