「THUSCH 2017」大魔法师

Description

大魔法师小 L 制作了 $n$ 个魔力水晶球，每个水晶球有水、火、土三个属性的能量值。小 L 把这 $n$ 个水晶球在地上从前向后排成一行，然后开始今天的魔法表演。

我们用 $A_i,B_i,C_i$ 分别表示从前向后第 $i$ 个水晶球（下标从 $1$ 开始）的水、火、土的能量值。

小 L 计划施展 $m$ 次魔法。每次，他会选择一个区间 $[l,r]$，然后施展以下 $3$ 大类、$7$ 种魔法之一：

1. 魔力激发：令区间里每个水晶球中特定属性的能量爆发，从而使另一个特定属性的能量增强。具体来说，有以下三种可能的表现形式：

土元素激发火元素能量：令 $A_i=A_i+B_i$。
水元素激发土元素能量：令 $B_i=B_i+C_i$。
火元素激发水元素能量：令 $C_i=C_i+A_i$。

需要注意的是，增强一种属性的能量并不会改变另一种属性的能量，例如 $A_i+B_i$ 并不会使 $B_i$ 增加或减少。

2. 魔力增强：小 L 挥舞法杖，消耗自身 $v$ 点法力值，来改变区间里每个水晶球的特定属性的能量。具体来说，有以下三种可能的表现形式：

火元素能量定值增强：令 $A_i=A_i+v$。
水元素能量翻倍增强：令 $B_i=B_i\cdot v$。
土元素能量吸收融合：令 $C_i=v$。

3. 魔力释放：小 L 将区间里所有水晶球的能量聚集在一起，融合成一个新的水晶球，然后送给场外观众。生成的水晶球每种属性的能量值等于区间内所有水晶球对应能量值的代数和。需要注意的是，魔力释放的过程不会真正改变区间内水晶球的能量。

值得一提的是，小 L 制造和融合的水晶球的原材料都是定制版的 OI 工厂水晶，所以这些水晶球有一个能量阈值 $998244353$。当水晶球中某种属性的能量值大于等于这个阈值时，能量值会自动对阈值取模，从而避免水晶球爆炸。

小 W 为小 L（唯一的）观众，围观了整个表演，并且收到了小 L 在表演中融合的每个水晶球。小 W 想知道，这些水晶球蕴涵的三种属性的能量值分别是多少。

题目大意

给定一个长度为 $n$ 的序列，每个位置有 $A_i,B_i,C_i$ 三种权值。

有 $m$ 次操作，分别可能是区间 $A_i=A_i+B_i$、$B_i=B_i+C_i$、$C_i=C_i+A_i$、$A_i=A_i+v$、$B_i=B_i\cdot v$、$C_i=v$。其中 $v$ 是每次给定的常数。也可能是询问区间 $A_i,B_i,C_i$ 分别的和。答案对 $998244353$ 取模。$n,m\leq 2.5\times 10^5$。

Solution

考虑用矩阵维护这些操作。

操作一 $A_i=A_i+B_i$ 的转移：

$\begin{bmatrix}A&B&C&1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A+B&B&C&1\end{bmatrix}$

操作二 $B_i=B_i+C_i$ 的转移：

$\begin{bmatrix}A&B&C&1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B+C&C&1\end{bmatrix}$

操作三 $C_i=C_i+A_i$ 的转移：

$\begin{bmatrix}A&B&C&1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B&C+A&1\end{bmatrix}$

操作四 $A_i=A_i+v$ 的转移：

$\begin{bmatrix}A&B&C&1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\v&0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A+v&B&C&1\end{bmatrix}$

操作五 $B_i=B_i\cdot v$ 的转移：

$\begin{bmatrix}A&B&C&1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&v&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\cdot v&C&1\end{bmatrix}$

操作六 $C_i=v$ 的转移：

$\begin{bmatrix}A&B&C&1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&v&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B&v&1\end{bmatrix}$

由于矩阵的结合律和分配律成立，单点修改可以自然地推广到区间，即推出矩阵后直接用线段树维护区间矩阵乘积即可。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=3e5+10,mod=998244353;

int n,q,opt,l,r,v,ans[4];

struct data{

    int a[4][4];

}f,sum[N<<2],tag[N<<2];

void mul(data &x,data &y){    //矩阵乘法

    int c[4][4];

    memset(c,0,sizeof(c));

    for(int i=0;i<4;i++)

        for(int j=0;j<4;j++)

            for(int k=0;k<4;k++)

                c[i][j]=(c[i][j]+1ll*x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;

    memcpy(x.a,c,sizeof(c));

}

void pushup(int p){

    for(int i=0;i<4;i++)

        sum[p].a[0][i]=(sum[p<<1].a[0][i]+sum[p<<1|1].a[0][i])%mod;

}

void pushdown(int p){

    bool flag=1;

    for(int i=0;i<4;i++)

        for(int j=0;j<4;j++)

            if(tag[p].a[i][j]!=f.a[i][j]) flag=0;    //非单位矩阵，则 flag=0

    if(flag) return ;

    mul(sum[p<<1],tag[p]),mul(tag[p<<1],tag[p]);

    mul(sum[p<<1|1],tag[p]),mul(tag[p<<1|1],tag[p]);

    tag[p]=f;

}

void build(int p,int l,int r){

    sum[p].a[0][3]=r-l+1,tag[p]=f;

    if(l==r){for(int i=0;i<3;i++) scanf("%d",&sum[p].a[0][i]);return ;}

    int mid=(l+r)/2;

    build(p<<1,l,mid);

    build(p<<1|1,mid+1,r);

    pushup(p);

}

void modify(int p,int l,int r,int lx,int rx,data v){

    if(l>=lx&&r<=rx){mul(sum[p],v),mul(tag[p],v);return ;}

    int mid=(l+r)/2;

    pushdown(p);

    if(lx<=mid) modify(p<<1,l,mid,lx,rx,v);

    if(rx>mid) modify(p<<1|1,mid+1,r,lx,rx,v);

    pushup(p);

}

void query(int p,int l,int r,int lx,int rx){

    if(l>=lx&&r<=rx){

        for(int i=0;i<3;i++)

            ans[i]=(ans[i]+sum[p].a[0][i])%mod;

        return ;

    }

    int mid=(l+r)/2;

    pushdown(p);

    if(lx<=mid) query(p<<1,l,mid,lx,rx);

    if(rx>mid) query(p<<1|1,mid+1,r,lx,rx);

    pushup(p);

}

signed main(){

    for(int i=0;i<4;i++) f.a[i][i]=1;    //单位矩阵

    scanf("%d",&n),build(1,1,n),scanf("%d",&q);

    while(q--){

        scanf("%d%d%d",&opt,&l,&r);

        if(opt<=6){

            data tmp=f;

            if(opt==1) tmp.a[1][0]=1;

            else if(opt==2) tmp.a[2][1]=1;

            else if(opt==3) tmp.a[0][2]=1;

            else if(opt==4) scanf("%d",&v),tmp.a[3][0]=v;

            else if(opt==5) scanf("%d",&v),tmp.a[1][1]=v;

            else scanf("%d",&v),tmp.a[2][2]=0,tmp.a[3][2]=v;

            modify(1,1,n,l,r,tmp);    //tmp: 转移矩阵

        }

        else{

            memset(ans,0,sizeof(ans)),query(1,1,n,l,r);

            for(int i=0;i<3;i++)

                printf("%d%c",ans[i],i==2?'\n':' ');

        }

    }

    return 0;

}