【BZOJ】【3398】【USACO 2009 Feb】Bullcow 牡牛和牝牛

组合计数/乘法逆元

　　排列组合求总方案数

　　这个可以用一个一维的动态规划解决：

　　　　f[i][0]表示第i头牛是牝牛的方案数

　　　　f[i][1]表示第i头牛是牡牛的方案数

　　　　则转移为：f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1];

　　　　　　　f[i][1]=f[i-K-1][0]+f[i-K-1][1];

常数优化：将取模运算改为if判断语句……可从20ms降为16ms

 /**************************************************************
     Problem: 3398
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:16 ms
     Memory:1588 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 3398
 #include<cstdio>
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') {if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<='') {v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*=sign;
 }
 const int N=,P=;
 int f[N][],n,K;
 int main(){
     n=getint(); K=getint();
     f[][]=f[][]=;
     F(i,,n){
         if(i-K->) f[i][]=f[i-K-][]+f[i-K-][];
         else f[i][]=;
         f[i][]=f[i-][]+f[i-][];
         if(f[i][]>=P) f[i][]-=P;
         if(f[i][]>=P) f[i][]-=P;
     }
     printf("%d\n",(f[n][]+f[n][])%P);
     return ;
 }

2015年2月6日 15:38:06

UPD: 本题也可用排列组合的方式计算

　　枚举牝牛的数量a，那么一定至少有(a-1)*k头牡牛，那么除掉这(a-1)*k头牡牛，还剩下b=n-(a-1)*k-a头牡牛。

　　这a头牝牛和b头牡牛是随便排的……也就是求一个多重全排列 即 (a+b)! / a!*b!

　　这里的除法需用逆元来算

　　逆元的计算方法是：已知a、p，求x满足 a*x≡1 (mod p) 那么根据费马小定理（或欧拉定理）可知x= pow(a,p-2)

ps：由于我的方法是O(n)预处理出来所有的阶乘，所以时间复杂度上甚至不如上面那种DP的方法……求大神指导本题0msAC的正确姿势TAT

 /**************************************************************
     Problem: 3398
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:24 ms
     Memory:2052 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 3398
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 using namespace std;
 int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(isdigit(ch))  {v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 /*******************template********************/
 typedef long long LL;
 const int P=;
 LL pow(LL a,LL b,LL P){
     LL r=,base=a%P;
     while(b){
         if (b&) r=r*base%P;
         base=base*base%P;
         b>>=;
     }
     return r;
 }
 LL p[];
 int main(){
     LL n=getint(),k=getint();
     p[]=p[]=;
     F(i,,n) p[i]=p[i-]*i%P;
     LL ans=+n;// 当a=0 ans=1,a=1,ans=n
     F(i,,n){
         LL a=i,b=n-(i-)*k-i;
         if (b<) break;
         ans=(ans+p[a+b]*( pow(p[a]*p[b]%P,P-,P) )%P)%P;
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }