BZOJ 4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 [FFT 组合计数 容斥原理]

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和

题意：求$$

\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \

S是第二类斯特林数

\[
***

首先你要把这个组合计数肝出来，~~于是我去翻了一波《组合数学》~~

*分治fft做法见上一篇，本篇是容斥原理+fft做法*

</br>
###组合计数

**斯特林数** $S(n,i)$表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数
</br>
考虑**集合不相同**情况$S'(n,i)=S(n,i)*i!$，我们用**容斥原理**推♂倒她
\]

每个集合非空的限制太强了，我们弱化它，可以有\ge k个空集合 \

ans = \ge 0个空集合 - \ge 1个空集合 + \ge 2 个空集合 \

S'(n,i) = \sum_{k=0}^{i} (-1)^k \binom{i}{k} (i-k)^n \

\[最后的$(i-k)^n$含义是n个元素每个可以放入任意一个集合中

</br>
然后把这个式子带进去化啊化，具体过程[WerKeyTom_FTD大爷已经写过了](http://blog.csdn.net/WerKeyTom_FTD/article/details/51909966)
**注意有一步把第一个带着i的求和移到最后，是一个等比数列求和**
最后得到的是
\]

ans=\sum_{j=0}^nj!*2j\sum_{k=0}^j\frac{(-1)k}{k!}\frac{\sum_{i=0}^n(j-k)i}{(j-k)!}

\[后面是卷积的形式，一遍ntt就行了

```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1<<18)+5, INF=1e9;
const ll P=998244353, g=3;
inline int read(){
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}

ll Pow(ll a, ll b) {
ll ans=1;
for(; b; b>>=1, a=a*a%P)
if(b&1) ans=ans*a%P;
return ans;
}

namespace ntt{
int n, rev[N];
void ini(int lim) {
n=1; int k=0;
while(n<lim) n<<=1, k++;
for(int i=0; i<n; i++) rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(k-1));
}
void dft(ll *a, int flag) {
for(int i=0; i<n; i++) if(i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
for(int l=2; l<=n; l<<=1) {
int m=l>>1;
ll wn = Pow(g, flag==1 ? (P-1)/l : P-1-(P-1)/l);
for(ll *p=a; p!=a+n; p+=l) {
ll w=1;
for(int k=0; k<m; k++) {
ll t = w * p[k+m]%P;
p[k+m]=(p[k]-t+P)%P;
p[k]=(p[k]+t)%P;
w=w*wn%P;
}
}
}
if(flag==-1) {
ll inv=Pow(n, P-2);
for(int i=0; i<n; i++) a[i]=a[i]*inv%P;
}
}
void mul(ll *a, ll *b) {
dft(a, 1); dft(b, 1);
for(int i=0; i<n; i++) a[i]=a[i]*b[i];
dft(a, -1);
}
}using ntt::ini; using ntt::mul;

int n, rev[N];
ll inv[N], fac[N], facInv[N];
ll f[N], a[N], b[N];

int main() {
freopen("in","r",stdin);
n=read();
inv[1]=1; fac[0]=facInv[0]=1;
for(int i=1; i<=n; i++) {
if(i!=1) inv[i] = (P-P/i)*inv[P%i]%P;
fac[i] = fac[i-1]*i%P;
facInv[i] = facInv[i-1]*inv[i]%P;
}
a[0]=1; b[0]=1; b[1]=n+1;
for(int i=1; i<=n; i++) a[i] = (i&1 ? -1 : 1) * facInv[i];
for(int i=2; i<=n; i++) b[i] = (Pow(i, n+1)-1) * inv[i-1] %P * facInv[i] %P;
ini(n+n+1); mul(a, b);
ll ans=0;
for(int i=0; i<=n; i++) ( ans += Pow(2, i)*fac[i]%P * a[i]%P )%=P;
if(ans<0) ans+=P;
printf("%lld", ans);
}

```\]