[UOJ#276][清华集训2016]汽水[分数规划+点分治]

题意

给定一棵 \(n\) 个点的树，给定 \(k\) ,求 \(|\frac{\sum w(路径长度)}{t(路径边数)}-k|\)的最小值。

\(n\leq 5\times 10^5,k\leq 10^{13}\)

分析

• 看到分数考虑分数规划，二分答案 \(x\)，式子转化成 \(-x< \frac{\sum w}{t}-k< x\)

• 将边权变为 \(w-k\) 消除 \(k\) 的影响。但是不能够直接求最长链。因为是路径，考虑点分治。

• 二分答案 \(x\) 之后考虑两条路径组合 \((A_1,B_1)，(A_2,B_2)\)，其中 \(A\) 表示路径长度，\(B\) 表示路径边数。
  有 \(-x<\frac{A_1+A_2}{B_1+B_2}< x\) ，当 \(A_1+A_2 > 0\) 时只用考虑 \(< x\) 的条件，得到 \(A_1-B_1x< B_2x-A_2\)，反之同理。

• 现在考虑 \(A_1+A_2 > 0\) 的情况。先将所有路径按照 \(A\) 排序后从左边开始枚举路径，然后用一个指针从右往左维护所有 \(A_1+A_2> 0\) 的路径，然后维护 \(Bx-A\) 的最小值。但是有可能最小值和当前枚举的路径相同，所以再记一个次小值。

• 由于要下取整，先求出 \(> ans\) 的最小整数解然后 \(-1\) 。

• 总时间复杂度为 \(O(nlog^2n)\)。

## 代码
~~~cpp
#include
using namespace std;
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].to;i;i=e[i].lst,v=e[i].to)
#define rep(i,a,b) for(int i=a;iinline bool Max(T &a,T b){return ainline bool Min(T &a,T b){return b=0;--p)
upd(data(st[p].a-st[p].b*mid,0,st[p].from),m1,m2);
if(st[i].b*mid-st[i].a>(st[i].from==m1.from?m2.a:m1.a)) return 1;
}
return 0;
}
bool ck2(int u,LL mid){
int p=1;
data m1(inf,-1,-1),m2(inf,-1,-1);
for(int i=tp;i;--i){
for(;p(st[i].from==m1.from?m2.a:m1.a)) return 1;
}
return 0;
}
void dfs(int u){
vis[u]=1,st[tp=1]=data(0,0,0);
go(u)if(!vis[v]) {
d[v]=data(e[i].c,1,v);
getdep(v,u,v);
}
sort(st+1,st+1+tp);
LL l=1,r=ans;
while(l>1;
if(ck1(u,mid)||ck2(u,mid)) r=mid;
else l=mid+1;
}
Min(ans,l);

go(u)if(!vis[v])
	rt=0,sn=son[v],getrt(v,u),dfs(rt);

}

int main(){

scanf("%d%lld",&n,&k);

rep(i,1,n-1){

int a,b;LL w;

scanf("%d%d%lld",&a,&b,&w);

Add(a,b,w-k);

Min(ans,abs(w-k)+1);

}

sn=n,g[rt=0]=0x3f3f3f3f,getrt(1,0),dfs(rt);

printf("%lld\n",ans-1);

return 0;

}