HDU4686——Arc of Dream矩阵快速幂

题目链接：

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4686

题目大意：

　　已知a0=A0,　　a_i=Ax*a_i-1+Ay;

　　　　b0=B0,　　b_i=Bx*b_i-1+By;

　　求∑a_i*b_i（i=0-->n-1）。

　　n不超过10¹⁸，A0，Ax，Ay，B0，Bx，BY不超过2*10⁹。

题目分析：

　　因为n很大，不可能用递推来做，这个时候就想到了矩阵的方法。构造了好几个满足要求的，但都是仅仅满足ai或者bi的，最后才发现，把ai*bi按递推式展开，

a_i*b_i=Ax*By*a_i-1*b_i-1+Ax*By*a_i-1+Ay*Bx*b_i-1+By*Ay。将常数组合在一起构成一个矩阵，将变量组合在一起构成另一个矩阵，然后将ai*bi构造成矩阵递推式：

矩阵1：

　　1　　a_i　　b_i　　a_i*b_i　　si（求和）

　　0　　0　　0　　    0　　   0

　　0　　0　　0　　    0　　   0

　　0　　0　　0　　    0　　   0

　　0　　0　　0　　    0　　   0

矩阵2：

　　1　　Ay　　By　　Ay*By　　Ay*By

　　0　　Ax　　0　　  Ax*By　　Ax*By

　　0　　0　　  Bx　　Ay*Bx　　Ay*Bx

　　0　　0　　  0　　  Ax*By　　Ax*By

　　0　　0　　  0　　  0　　　　 1

矩阵3

　　1　　a_i+1　　b_i+1　　a_i+1*b_i+1　　si（求和）

　　0　　0　　0　　    0　　   0

　　0　　0　　0　　    0　　   0

　　0　　0　　0　　    0　　   0

　　0　　0　　0　　    0　　   0

显然　　矩阵1*矩阵2=矩阵3。根据递推关系呢，矩阵1（i=0）*（矩阵2）^n-1就能得到s（n-1）了。因而，用矩阵快速幂就能很快把问题解决了。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const long long mod=;
 typedef struct
 {
     long long m[][];
 }mat;
 mat X,Y;
 mat multi(mat x,mat y)
 {
     mat temp;
     for(int i=;i<;i++)
         for(int j=;j<;j++)
         {
             temp.m[i][j]=;
             for(int k=;k<;k++)
                 temp.m[i][j]+=x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod;
             temp.m[i][j]%=mod;
         }
     return temp;
 }

 mat pow(long long k)//矩阵快速幂
 {
     mat ans=X,p=Y;
     while(k)
     {
         if(k&)
             ans=multi(ans,p);
         p=multi(p,p);
         k/=;
     }
     return ans;
 }

 int main()
 {
     long long n,a0,ax,ay,b0,bx,by;
     while(cin>>n>>a0>>ax>>ay>>b0>>bx>>by)
     {
         if(!n)//这边需要注意特判一下
         {
             printf("0\n");
             continue;
         }
         memset(X.m,,sizeof(X.m));
         memset(Y.m,,sizeof(Y.m));
         X.m[][]=;X.m[][]=a0;X.m[][]=b0;X.m[][]=a0*b0%mod;X.m[][]=a0*b0%mod;
         Y.m[][]=;Y.m[][]=ay;Y.m[][]=by;Y.m[][]=ay*by%mod;Y.m[][]=ay*by%mod;
         Y.m[][]=ax;Y.m[][]=Y.m[][]=ax*by%mod;
         Y.m[][]=bx;Y.m[][]=Y.m[][]=ay*bx%mod;
         Y.m[][]=Y.m[][]=ax*bx%mod;
         Y.m[][]=;
         mat ans=pow(n-);
         long long s=ans.m[][]%mod;
         cout<<s<<endl;
     }
     return ;
 }

HDU4686