题目链接

  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4686

题目大意

  已知a0=A0,  ai=Ax*ai-1+Ay;

    b0=B0,  bi=Bx*bi-1+By;

  求∑ai*bi(i=0-->n-1)。

  n不超过1018,A0,Ax,Ay,B0,Bx,BY不超过2*109

题目分析

  因为n很大,不可能用递推来做,这个时候就想到了矩阵的方法。构造了好几个满足要求的,但都是仅仅满足ai或者bi的,最后才发现,把ai*bi按递推式展开,

ai*bi=Ax*By*ai-1*bi-1+Ax*By*ai-1+Ay*Bx*bi-1+By*Ay。将常数组合在一起构成一个矩阵,将变量组合在一起构成另一个矩阵,然后将ai*bi构造成矩阵递推式:

矩阵1:

  1  ai  bi  ai*bi  si(求和)

  0  0  0      0     0

  0  0  0      0     0

  0  0  0      0     0

  0  0  0      0     0

矩阵2:

  1  Ay  By  Ay*By  Ay*By

  0  Ax  0    Ax*By  Ax*By

  0  0    Bx  Ay*Bx  Ay*Bx

  0  0    0    Ax*By  Ax*By

  0  0    0    0     1

矩阵3

  1  ai+1  bi+1  ai+1*bi+1  si(求和)

  0  0  0      0     0

  0  0  0      0     0

  0  0  0      0     0

  0  0  0      0     0

显然  矩阵1*矩阵2=矩阵3。根据递推关系呢,矩阵1(i=0)*(矩阵2)n-1就能得到s(n-1)了。因而,用矩阵快速幂就能很快把问题解决了。

 #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long mod=;
typedef struct
{
long long m[][];
}mat;
mat X,Y;
mat multi(mat x,mat y)
{
mat temp;
for(int i=;i<;i++)
for(int j=;j<;j++)
{
temp.m[i][j]=;
for(int k=;k<;k++)
temp.m[i][j]+=x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod;
temp.m[i][j]%=mod;
}
return temp;
} mat pow(long long k)//矩阵快速幂
{
mat ans=X,p=Y;
while(k)
{
if(k&)
ans=multi(ans,p);
p=multi(p,p);
k/=;
}
return ans;
} int main()
{
long long n,a0,ax,ay,b0,bx,by;
while(cin>>n>>a0>>ax>>ay>>b0>>bx>>by)
{
if(!n)//这边需要注意特判一下
{
printf("0\n");
continue;
}
memset(X.m,,sizeof(X.m));
memset(Y.m,,sizeof(Y.m));
X.m[][]=;X.m[][]=a0;X.m[][]=b0;X.m[][]=a0*b0%mod;X.m[][]=a0*b0%mod;
Y.m[][]=;Y.m[][]=ay;Y.m[][]=by;Y.m[][]=ay*by%mod;Y.m[][]=ay*by%mod;
Y.m[][]=ax;Y.m[][]=Y.m[][]=ax*by%mod;
Y.m[][]=bx;Y.m[][]=Y.m[][]=ay*bx%mod;
Y.m[][]=Y.m[][]=ax*bx%mod;
Y.m[][]=;
mat ans=pow(n-);
long long s=ans.m[][]%mod;
cout<<s<<endl;
}
return ;
}

HDU4686

  

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