经典面试题目——找到第n个丑数(参考《剑指offer(第二版)》面试题49)

一.题目大意

　　给你一个数n，要求返回第n个丑数。其中，丑数的定义如下：

　　丑数是指只包含因子2、3和5的数。(数字1也是丑数，不过是个特例)引用《剑指offer》上的话来说，对于一个数M，如果M能被2整除，就连续除以2；若果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就连续除以5。如果最终的结果是1的话，那么M就是丑数，否则M不是丑数。以下是判断一个数是否为丑数的代码：

bool IsUglyNumber(int num)
{
    while(num % 2 == 0)
        num /= 2;
    while(num % 3 == 0)
        num /= 3;
    while(num % 5 == 0)
        num /= 5;
    return (num == 1)? true : false;

}

二.思路分析

方法1.

　　最直观的解法，就是从1开始进行遍历，对于每个数分别判断是否为丑数，直到找到n个丑数为止。

此方法，对于n比较大的情况，往往都会超时的。所以，这种方法并不最优选择。

方法2：

　　实质是对方法1的优化，分析方法1，会发现浪费的操作主要在于非丑数的数。所以想方设法对非丑数的数进行排除，即只对丑数进行操作。《剑指offer》上给了这样一种思路：

(1)首先，根据丑数的定义，任何一个丑数都应该是另一个丑数乘以2或者3或者5的结果(1除外)。因此，根据这种特性，我们可以从最小的丑数开始逐渐生成新的丑数，并且要求新生成的丑数是排好序的(升序)，如果用一个数组来存储它们的话，那么数组的第n个元素就是我们想要的结果。

(2)这种方法的重点在于如何确保新生成的丑数是排好序的：

假设这个有序的丑数数组为A[0]、A[1]、A[2]、... A[M]，那么，A[M + 1]一定是A[0]或A[1]或 ... A[M]中的某个元素(假设这个元素为A[i])乘以2或者乘以3或者乘以5得到的，至于A[i]具体是哪个值，我们现在是不知道的。不过我们可以有以下的分析：

1.我们首先考虑把A[0]、A[1]、A[2]、...A[M]这M+1个数都乘以2，那么我们就能得到M + 1个新的丑数，但是这M+1个丑数中，一定有一部分与A[0]、A[1]、A[2]、... A[M]中的某些数是重复的(这M+1个丑数中小于A[M]的数一定就是重复的，因为数组A就是有序的丑数序列)，这些重复的丑数就不用考虑了，也一定有一部分数是大于A[M]的，而我们要找的就是从这些大于A[M]的丑数中，选出最小的一个来，并把这个最小的丑数命名为N2。

2.我们再把A[0]、A[1]、A[2]、...A[M]这M+1个数都乘以3，那么我们也能得到M + 1个新的丑数，这M+1个丑数中，同理，一定有一部分与A[0]、A[1]、A[2]、... A[M]中的某些数是重复的(这M+1个丑数中小于A[M]的数一定就是重复的)，这些重复的丑数就不用考虑了，也一定有一部分数是大于A[M]的，而我们要找的就是从这些大于A[M]的丑数中，选出最小的一个来，并把这个最小的丑数命名为N3。

3.我们最后再把A[0]、A[1]、A[2]、...A[M]这M+1个数都乘以5，那么我们同样能得到M + 1个新的丑数，这M+1个丑数中，同理，一定也有一部分与A[0]、A[1]、A[2]、... A[M]中的某些数是重复的(这M+1个丑数中小于A[M]的数一定就是重复的)，这些重复的丑数就不用考虑了，也一定有一部分数是大于A[M]的，而我们要找的就是从这些大于A[M]的丑数中，选出最小的一个来，并把这个最小的丑数命名为N5。

4.经过前3步，我们得到了三个最小的数N2、N3、N5，那么，A[M+1]一定是这三个数中最小的那个数。

5.我们就可以重复第1步~第4步，直到数组A中的元素达到n个时，A[n - 1]就是我们想要的结果。

注：我们在以上的理论分析中每次都需要把A[0]、A[1]、A[2]、... A[M](M在每次迭代后都会加1)分别乘以2、3和5，这样太麻烦了啊，能不能进一步优化呢？我们下面来详细分析下：

1.首先，我们要了解上面的第1~3步，主要是为了找出N2、N3、N5这三个数来，而实际上，只需找到原数组A(即已知的丑数序列)中对应的元素，令该元素乘以2或者乘以3或者乘以5就可以得到N2、N3或者N5了。以下进一步分析。

2.对于有序的丑数数组A[0]、A[1]、A[2]、... A[M]，如果把数组中每个元素都乘以2的话，就会得到M+1个新的丑数，对于这M+1个新的丑数，我们之前已经给分析了，有一部分是与数组中原来的元素是重复的，另一部分则是大于A[M]的。所那么在原数组A(即已有的丑数)中，这M+1个旧的丑数中，一定存在这么一个丑数T2，排在它前面的丑数乘以2都小于等于A[M]，排在它后面的丑数，都大于A[M]。那么，根据之前的1中的叙述，就可以得到T2 * 2 = N2。也就是说确定了T2，就能确定N2了。我们在进一步分析，如果N2、N3、N5这三个数中最小的是N2的话，那么A[M+1] = N2(令M₁ =M +1),那么此时的T2就不满足之前的要求了(即排在它前面的丑数乘以2都小于等于A[M₁]，排在它后面的丑数，都大于A[M₁]，此时M₁=M+1)所以此时，需要更新T2，即T2变成了原数组A中T2之后的那个元素(相当于下标索引加1)。每次选出相应的N值时，必须要更新相应的T值。

3.同理的话，我们根据1，可知同样在原数组A中可以得到一个丑数T5，使得排在它前面的丑数乘以5都小于等于A[M]，排在它后面的丑数，都大于A[M]。同理可得，T5 * 5 = N5。同样的，如果N5是N2、N3、N5中最小的丑数的话，那么A[M+1] = N5,此时T5就更新成原数组A中T5之后的那个元素了。

4.同理，T3也是同样的更新准则。

5.综合1、2、3我们只需找到并更新T2、T3、T5的值即可，并不用把所有的已知丑数都乘一遍。(当然了，如果N2、N3、N5中存在两个相同的值(假设N2 == N3)，并且都是最小的话，那么对应的两个数(T2和T3)都需要更新)。

6.由第5步可知，我们需要的是获得T2、T3、T5的初值，并对他们进行更新，就能获取排好序的数组之后的元素了(A[M+1]、A[M+2]、A[M+3]、... A[n-1])。那么如何获得T2、T3、T5的初始值？由于刚开始数组中的元素只有1个，即A[0] =1,此时的T2 = T3 = T5 =1的，所以按照之前的规则进行更新就可以了。

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综合以上分析，可得代码如下：

 int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if(index < 7)
            return index; //由于数字1~6都是丑数，而且是排好序的，所以可以直接返回
        vector<int> rs(index);
        rs[0] = 1;//初始化数组，1是个特例
        int t2 =0, t3 = 0, t5 = 0;//rs[t2]对应T2，rs[t3]对应T3，rs[t5]对应T5
        for(int i = 1; i < index; i++)
        {
            rs[i] = min(rs[t2] * 2,min(rs[t3] * 3,rs[t5] * 5));//选出T2、T3、T5中的最小值
            if(rs[i] == rs[t2] * 2)
                t2++;//更新T2，T2变成数组中T2之后的那个元素了
            if(rs[i] == rs[t3] * 3)
                t3++;
            if(rs[i] == rs[t5] * 5)
                t5++;
        }
        return rs[index - 1];

}

该方法的时间复杂度为O(n),空间复杂度O(n)。相比思路一时间效率得到了极大的提高。

观察改代码可知，实际上通过t2、t3、t5这三个索引下标就实现了对原数组中所有的元素乘以2、乘以3、乘以5的操作，只不过避免重复操作，才引入了T2、T3、T5这三个丑数。(一旦选定了N中的最小值，假设是N2，一定要去更新对应的T值，即N2对应的是T2)

可以具体分析下这段代码：

　(1)首先，在第一轮循环中，数组rs中只有元素1，即rs[0] = 1,且t2 = t3 = t5 = 0,T2 = T3 =T5 = rs[0] = 1，由于N2是三者中最小值，故数组中新添加的元素rs[1] = N2 = 2。此时T2需要更新，即t2 = t2 +1(T2变成了T2之后的那个元素)

　(2)在第二轮循环中，数组rs有两个元素了，且t2 =1，t3 = t5 = 0，T2 =rs[1] = 2,T3 = T5 = rs[0] = 1,由于N3是三者中的最小值，故数组中新添加的元素rs[2] = N3 = 3。此时T3需要更新，即t3 = t3 +1(T3变成了T3之后的那个元素)

　(3)在第三轮循环中，数组rs有三个元素了，且t2 = t3 = 1,t5 = 0,T2 =T3 =rs[1] =2,T5 = rs[0] = 1,由于N2= T2 *2 =4,N3 = T3 * 3 = 6,T5= N5 * 5 = 5,N2是三者之中最小值，故数组中新添加的元素rs[3] = N2 =4,同时，T2需要更新，即t2 = t2 + 1

　(4)在四轮循环汇总，数组rs有四个元素了，且t2 = 2，t3 = 1，t5 = 0，T2 = rs[2] = 3，T3 = rs[1] = 2，T5 = rs[0] = 1,由于N2 = 6，N3 = 6，N5 =5,即N5是三者之中的最小值，故数组中新添加的元素rs[4] = N5  = 5,同时，T5需要更新，即t5 = t5 +1

.......

　按照此规律依次进行下去。