BZOJ 1237 配对

Description

你有\(n\)个整数\(A_{i}\)和\(n\)个整数\(B_{i}\)。你需要把它们配对，即每个\(A_{i}\)恰好对应一 个\(Bp_{i}\)。要求所有配对的整数差的绝对值之和尽量小，但不允许两个相同的数配对。例如\(A=\lbrace 5,6,8 \rbrace\)，\(B=\lbrace 5,7,8 \rbrace\)，则最优配对方案是\(5\)配\(8\)，\(6\)配\(5\)，\(8\)配\(7\)，配对整数的差的绝对值分别为\(2, 2, 1\)，和为\(5\)。注意，\(5\)配\(5\)，\(6\)配\(7\)，\(8\)配\(8\)是不允许的，因为相同的数不许配对。

Input

第一行为一个正整数\(n\)，接下来是\(n\)行，每行两个整数\(A_{i}\)和\(B_{i}\)，保证所有\(A_{i}\)各不相同，\(B_{i}\)也各不相同。

Output

输出一个整数，即配对整数的差的绝对值之和的最小值。如果无法配对，输出\(-1\)。

Sample Input

3

3 65

45 10

60 25

Sample Output

32

HINT

\(30\%\)的数据满足：\(n \le 10^{4}\)

\(100\%\)的数据满足：\(1 \le n \le 10^{5}\)，\(A_{i}\)和\(B_{i}\)均为\(1\)到\(10^{6}\)之间的整数。

难得又一道自己想出的题目。

首先如果没有相同的数字不能同时配对，那么排序之后两两配对一定是最优的。那么我们在满足题目限制一定也要尽可能的满足题目的限制，相邻两个进行交换。

我们令\(pos_{i}\)表示前第\(i\)个排序后数字相同配对的位置，\(f_{i,0/1}\)表示前\(i\)个数字相同的配对，使其合法的最小增加代价（\(0\)表示与前面的交换，\(1\)表示与后面的交换）。转移有这样以下的几个：

\[f_{i,1} = min(f_{i-1,0},f_{i-1,1})+calc(pos_{i},pos_{i}+1)
\]

当\(pos_{i-1} \ge pos_{i}-1\)时$$f_{i,0} = f_{i-1,0}+calc(pos_{i}-1,pos_{i})$$

否则$$f_{i,0} = min(f_{i-1,0},f_{i-1,1})+calc(pos_{i}-1,pos_{i})$$

产生分歧的原因是如果\(pos_{i-1} \ge pos_{i}-1\)，那么如果\(i-1\)号非法配对与右边的交换，\(i\)号与左边的交换代价计算就会出错。

当\(i \ge 2\)并且\(pos_{i}=pos_{i-1}+1\)，我们可以两个非法的进行交换，得到以下的转移：

当\(pos_{i-2} \ge pos_{i-1}-1\)时，$$f_{i,0} = min(f_{i,0},f_{i-2,0}+calc(pos_{i-1},pos_{i}))$$

否则$$f_{i,0} = min(f_{i,0},min(f_{i-2,0},f_{i-2,1})+calc(pos_{i-1},pos_{i}))$$

分歧的原因同上。

以上转移\(calc(a,b)\)为计算交换\(a,b\)位置增加代价的函数。

#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

typedef long long ll;
#define inf (1LL<<60)
#define maxn 100010
int n,pos[maxn],tot; ll sum,A[maxn],B[maxn],f[maxn][2];

inline ll calc(int a,int b)
{
	if (!a||!b) return inf; if (a > n||b > n) return inf;
	return (abs(A[a]-B[b])+abs(A[b]-B[a]))-(abs(A[a]-B[a])+abs(A[b]-B[b]));
}
inline void dp()
{
	memset(f,0x7,sizeof(f));
	f[0][0] = f[0][1] = 0;
	for (int i = 1;i <= tot;++i)
	{
		f[i][1] = min(f[i-1][0],f[i-1][1])+calc(pos[i],pos[i]+1);
		if (pos[i-1]<pos[i]-1) f[i][0] = min(f[i-1][0],f[i-1][1])+calc(pos[i]-1,pos[i]);
		else f[i][0] = f[i-1][0]+calc(pos[i]-1,pos[i]);
		if (i >= 2&&pos[i] == pos[i-1]+1)
		{
			if (pos[i-2]<pos[i-1]-1) f[i][0] = min(f[i][0],min(f[i-2][0],f[i-2][1])+calc(pos[i-1],pos[i]));
			else f[i][0] = min(f[i][0],f[i-2][0]+calc(pos[i-1],pos[i]));
		}
	}
}

int main()
{
	freopen("1237.in","r",stdin);
	freopen("1237.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n); for (int i = 1;i <= n;++i) scanf("%lld %lld",A+i,B+i);
	A[0] = A[n+1] = inf; pos[0] = -100;
	sort(A+1,A+n+1); sort(B+1,B+n+1);
	for (int i = 1;i <= n;++i)
	{
		sum += abs((A[i]-B[i]));
		if (A[i] == B[i]) pos[++tot] = i;
	}
	dp(); printf("%lld",sum+min(f[tot][0],f[tot][1]));
	fclose(stdin); fclose(stdout);
	return 0;
}