CodeForces 146E - Lucky Subsequence DP+扩展欧几里德求逆元

题意:

一个数只含有4,7就是lucky数...现在有一串长度为n的数...问这列数有多少个长度为k子串..这些子串不含两个相同的lucky数...

子串的定义..是从这列数中选出的数..只要序号不同..就不不同的串..如 1 1 的长度为1的子串有两个

题解:

解题前可以先求一下1000000000内有多少个数是lucky的...可以递推的求..也可以暴力求~~可以看出最多1022个lucky数..很少...

现将这堆数的所有lucky数找出来...把相同的放在一个lucky数里计数...

dp[ i ] [ k ] 代表到了第i个lucky数..选了k个lucky数的方案总数...

dp全部处理完后统计答案:

ans= sigma ( dp [ last ] [ i ]  + C ( 非lucky数个数 ) ( n-i ) )  , ( 0<=i<=这堆数中lucky数总数 )      C求组合数

那么现在的关键是求C ( a, b) 了..有题目数据可知...a,b都可能达到10^5...如果用传统的递推: C( i , j )=C( i-1 , j )+C( i-1 , j-1 ) 是会爆空间+爆时间的...

要求C ( a, b )只能用数学知识了...

C( a, b ) =  a! / (b!*(a-b)!)  可以先把n!打个表出来.所有的阶乘就可以直接的取...问题进一步简化为求 ( a / b ) % 1000000007

如果a,b分别取模计算..是错误的...只能 a * (b的逆元) % 1000000007

这里所说的b你逆元,实质上是在模1000000007系统中b的逆元..也就是(b*x)%1000000007=1

问题再简化...求b的逆元....两种思路...

1、费马小定理

根据费马小定理 ( a^(p-1) ) % p = 1 当p是质数并且a不是p的倍数....而题目给的1000000007就是一个质数..所以对于任意一个非p倍数的数有

( a * (a^(p-2) ) % p =1 ..所以 a^(p-2) 就是 a的逆元...用快速幂取模求出即可

2、扩展欧几里德

ax+by = gcd(a,b) 扩展欧几里得就是来求满足条件的一组x,y的...

令x为a的逆元...p为要模的数...根据逆元的定义有 ( a*x ) %p=1....可以理解为 a*x - p*y = 1 , 其中y为整数.

又有 gcd (a,p) = 1..那么 a*x - p*y = gcd (a,p) ..这样就成了拓展欧几里得的形式了..求出x即可

总的来说..费马小定理来得方便...但扩展欧几里德的应用范围更广

Program:

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define oo 1000000007
#define pi acos(-1.0)
#define MAXN 1200
using namespace std;
int n,k,temp[100005],m;
ll lucky[MAXN],dp[MAXN][MAXN],factorial[100005];
bool IsLucky(int x)
{
       while (x)
       {
              if (x%10!=4 && x%10!=7) return false;
              x/=10;
       }
       return true;
}
void PreWork()
{
       factorial[0]=1;
       for (ll i=1;i<=100000;i++) factorial[i]=(factorial[i-1]*i)%oo;
       return;
}
void Ex_Gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
       if (b==0)
       {
             x=1,y=0;
             return;
       }
       Ex_Gcd(b,a%b,x,y);
       ll t;
       t=x,x=y,y=t-a/b*y;
       return;
}
ll C(ll a,ll b)
{
       ll x,y;
       if (b>a) return 0;
       b=(factorial[b]*factorial[a-b])%oo;
       a=factorial[a];
       Ex_Gcd(b,oo,x,y);
       a=(a*x)%oo;
       if (a<0) a+=oo;
       return a;
}
int main()
{
       PreWork();
       int i,j,num;
       ll ans;
       while (~scanf("%d%d",&n,&k))
       {
              m=0;
              for (i=1;i<=n;i++)
              {
                     int x;
                     scanf("%d",&x);
                     if (IsLucky(x)) temp[++m]=x;
              }
              sort(temp+1,temp+1+m);
              temp[0]=num=0;
              for (i=1;i<=m;i++)
                 if (temp[i]!=temp[i-1]) lucky[++num]=1;
                     else lucky[num]++;
              memset(dp,0,sizeof(dp));
              for (i=0;i<=num;i++) dp[i][0]=1;
              for (i=1;i<=num;i++)
                 for (j=1;j<=i;j++)
                      dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*lucky[i])%oo;
              ans=0;
              for (i=0;i<=min(k,m);i++)
                ans=(ans+dp[num][i]*C(n-m,k-i))%oo;
              printf("%I64d\n",ans);
       }
       return 0;
}