传纸条(一)

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难度:5
 
描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学,他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中,班上同学安排做成一个m行n列的矩阵,而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端,因此,他们就无法直接交谈了。幸运的是,他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里,小渊坐在矩阵的左上角,坐标(1,1),小轩坐在矩阵的右下角,坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中,小渊希望给小轩传递一张纸条,同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次,也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙,那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意,全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低(注意:小渊和小轩的好心程度没有定义,输入时用0表示),可以用一个0-1000的自然数来表示,数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条,即找到来回两条传递路径,使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在,请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

 
输入
第一行输入N(0<N<100)表示待测数据组数。
每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n,表示班里有m行n列(2<=m,n<=50)。 
接下来的m行是一个m*n的矩阵,矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度(不大于1000)。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出
每组测试数据输出共一行,包含一个整数,表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。 
样例输入
1
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
样例输出
34
题目解析:
  本道题需用到的算法为动态规划
  题目中提到在 m 行 n 列且带有权值的矩阵中从(1,1)到(m,n)找一条路径,然后再从(m,n)到(1,1)找一条路径,这两天路径不能重复,即每个点只能两个人只能走一次,且不可以回退,即第一条只能向下或向右,第二条只能向上或向左。化简后可知:其实就是从(1,1)到(m,n)找两条路径,这两条路径只能向下或向右且不相交,计算出这两条路径的权值和的最大值即可。
  所以很容易构想出动态规划方程:
  两个人走,利用四维的数组 dp[x1][y1][x2][y2] 来保存路径中间过程的权值之和的最大值,其中 x1 y1 x2 y2 分别表示两个人的位置。
  每个人现在的位置都有两种可能:从他的上边或左边;两个人组合就有四种可能,因此:构造出动态规划方程(map[x][y] 表示权值,即好心程度):
dp[x1][y1][x2][y2]=max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2][y2-1],dp[x1-1][y1][x2][y2-1])+map[x1][y1]+map[x2][y2];
  其中 x1,x2 的取值范围为从起点到终点,即 1 ~ m,y1,y2 的取值范围为起点到终点,即 1 ~ n。
  此方程的时间复杂度为 O(n4)。因此可以进一步优化:
  假如现在是 5 x 5 的矩阵,每个人从起点走三步,会出现四种情况。

  这四种情况的坐标分别为:(0,3)(1,2) (2,1) (3,0)。通过这四个坐标,发现一个规律: 0 + 3 = 1 + 2 = 2 + 1 = 3 + 0 = 3 = k (k为走的步数)。所有,x1 + x2 = k , x2 + y2 = k。所以,y = k - x。因此,三维的动态规划方程为:
dp[k][x1][x2] = max(dp[k-1][x1][x2], dp[k-1][x1-1][x2-1], dp[k-1][x1-1][x2], dp[k-1][x1][x2-1]) + map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2];
  其中,dp[k][x1][x2] 就是四维的 dp[x1][y1][x2][y2],dp[k-1][x1][x2] 就是四维的 dp[x1][y1-1][x2][y2-1],map[x1][k-x1] 就是四维的 dp[x1][y1],以此类推。
  终点的坐标为 (m-1,n-1),但是 k 不能到达终点这个位置,因为违背了题目中两个人不能重复,k 的最大情况为(m-1)+(n-1)- 1,k 在最小情况也就是 2 x 2 的矩阵中取得最小值 1,所以 k 的取值范围为 1 ~  m+n-3。x1 和 x2 的取值范围都为从起点(0,0)到最大步数 k,即 0 ~ k。
  此方程的时间复杂度为 O(n3)。因此还可以进一步优化:
  从三维的动态规划方程可以发现,前一步总是 k - 1,所以,二维的动态规划方程可以优化为:
dp[x1][x2] = max(dp[x1][x2], dp[x1 - 1][x2 - 1], dp[x1 - 1][x2], dp[x1][x2 - 1]) + map[x1][k - x1] + map[x2][k - x2];
  根据三维时的分析,两条路径都走不到终点,所以让第一个人走到终点的上方,第二个人走到终点的左方,k 的取值范围为 1 ~ (m-1)+(n-1)- 1,最终要输出的结果为 dp[m-2][m-1]。
  此方程的时间复杂度为 O(n2)。
 

示例代码1 [四维数组]:

 注意:运用四维数组提交后报错【TimeLimitExceeded】

 #include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
using namespace std; #define MAX_NUM 52 int map[MAX_NUM][MAX_NUM]; //好心程度 | 权值
int dp[MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM]; int maxPath(int m, int n)
{
for (int x1 = ; x1 <= m; x1++)
{
for (int y1 = ; y1 <= n; y1++)
{
for (int x2 = ; x2 <= m; x2++)
{
for (int y2 = ; y2 <= n; y2++)
{
/*
如果第一个人没有走到最后一行或最后一列,并且两个人没有重复
因为走到最后一行或最后一列,容易造成第二个人无路可走的情况
*/
if ((x1 < m || y1 < n) && x1 == x2 && y1 == y2)
{
continue;
}
dp[x1][y1][x2][y2] = max( max(dp[x1-][y1][x2-][y2], dp[x1-][y1][x2][y2-]),
max(dp[x1][y1-][x2-][y2], dp[x1][y1-][x2][y2-]))
+ map[x1][y1] + map[x2][y2];
}
}
}
}
return dp[m][n][m][n];
} int main()
{
int x;
scanf("%d", &x);
while (x--) {
int m, n;
scanf("%d%d", &m, &n); for (int i = ;i <= m; i++)
for (int j = ;j <= n; j++)
scanf("%d", &map[i][j]); int ans = maxPath(m, n);
printf("%d\n", ans);
} return ;
}

示例代码2 [三维数组]:

 #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std; #define MAX_NUM 52 int map[MAX_NUM][MAX_NUM]; //好心程度 | 权值
int dp[MAX_NUM+MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM]; int maxPath(int m, int n)
{
for (int k = ;k <= m+n-; k++)
{
for (int x1 = ; x1 <= k; x1++)
{
for (int x2 = ; x2 <= k; x2++)
{
if (x1 == x2) //x1 == x2 相当于(x1 == x2 && y1 = y2)
{
continue;
}
dp[k][x1][x2] = max(max(dp[k-][x1][x2], dp[k-][x1-][x2-]),
max(dp[k-][x1-][x2], dp[k-][x1][x2-]))
+ map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2];
}
}
}
return dp[m+n-][m-][m-];
} int main()
{
int x;
scanf("%d", &x);
while (x--) {
int m, n;
scanf("%d%d", &m, &n); for (int i = ; i < m; i++)
for (int j = ; j < n; j++)
scanf("%d", &map[i][j]); int ans = maxPath(m, n);
printf("%d\n", ans);
} return ;
}

示例代码3 [二维数组]:

 #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<cmath>
using namespace std; #define MAX_NUM 52 int map[MAX_NUM][MAX_NUM]; //好心程度 | 权值
int dp[MAX_NUM][MAX_NUM]; int maxPath(int m, int n)
{
memset(dp, , sizeof(dp));
for (int k = ; k <= m+n-; k++)
{
for (int x1 = m-; x1 >= ; x1--)
{
for (int x2 = m-; x2 > x1; x2--)
{
if ( k >= x1 && k >= x2) //x + y = k,当k >= x时,说明还在矩阵范围之内
{
dp[x1][x2] = max(max(dp[x1][x2], dp[x1-][x2-]),
max(dp[x1-][x2], dp[x1][x2-]))
+ map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2];
}
}
}
}
return dp[m-][m-];
} int main()
{
int x;
scanf("%d", &x);
while (x--) {
int m, n;
scanf("%d %d", &m, &n); for (int i = ;i < m; i++)
for (int j = ; j < n; j++)
scanf("%d", &map[i][j]); int ans = maxPath(m, n);
printf("%d\n", ans);
} return ;
}

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