BZOJ 1185 [HNOI2007]最小矩形覆盖:凸包 + 旋转卡壳
题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1185
题意:
给出二维平面上的n个点,问你将所有点覆盖的最小矩形面积。
题解:
先找出凸包,然后旋转卡壳。
在旋转卡壳中有一个结论:最小覆盖矩形一定有一条边在凸包上。
所以先枚举矩形在凸包上的那条边(p[i],p[i+1]),然后利用单调性找出p[i]的对踵点p[u]。
至于左右两侧的切点p[l]和p[r],要利用它们连线在直线(p[i],p[i+1])上投影长度的单调性求出。
最后将找出的矩形顶点再做一遍极角排序即可。
AC Code:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#define MAX_N 50005
#define INF_LF 1e14
#define EPS 1e-7 using namespace std; struct Coor
{
double x,y;
Coor(double _x,double _y) { x=_x,y=_y; }
Coor(){}
friend Coor operator + (const Coor &a,const Coor &b)
{
return Coor(a.x+b.x,a.y+b.y);
}
friend Coor operator - (const Coor &a,const Coor &b)
{
return Coor(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
friend Coor operator * (const Coor &a,double b)
{
return Coor(a.x*b,a.y*b);
}
friend Coor operator / (const Coor &a,double b)
{
return Coor(a.x/b,a.y/b);
}
friend double len(const Coor &a,const Coor &b)
{
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
friend double dot(const Coor &a,const Coor &b)
{
return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
friend double cross(const Coor &a,const Coor &b)
{
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
friend double area(const Coor &a,const Coor &b,const Coor &c)
{
return fabs(cross(b-a,c-a));
}
friend double length(const Coor &a)
{
return sqrt(dot(a,a));
}
friend double pro(const Coor &a,const Coor &b)
{
return dot(a,b)/length(b);
}
friend Coor proc(const Coor &a,const Coor &b,const Coor &c)
{
Coor v=c-b;
return b+v*dot(v,a-b)/dot(v,v);
}
}; int n,tot=;
double ans=INF_LF;
Coor p[MAX_N];
Coor con[MAX_N];
Coor rect[MAX_N]; void read()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
} bool cmp(const Coor &a,const Coor &b)
{
double c=cross(a-p[],b-p[]);
return c!= ? c> : len(p[],a)<len(p[],b);
} inline bool eq(double x,double y)
{
return fabs(x-y)<EPS;
} void graham()
{
for(int i=;i<=n;i++)
{
if(p[i].y<p[].y || (p[i].y==p[].y && p[i].x<p[].x))
{
swap(p[i],p[]);
}
}
sort(p+,p++n,cmp);
con[++tot]=p[],con[++tot]=p[];
for(int i=;i<=n;i++)
{
while(tot>= && cross(con[tot]-con[tot-],p[i]-con[tot])<=) tot--;
con[++tot]=p[i];
}
} inline int mod(int x)
{
return ((x-)%tot+tot)%tot+;
} void rc()
{
int u=,l=,r=;
for(int i=;i<=tot;i++)
{
if(con[i].x<con[l].x || (con[i].x==con[l].x && con[i].y>con[l].y)) l=i;
if(con[i].x>con[r].x || (con[i].x==con[r].x && con[i].y<con[r].y)) r=i;
}
for(int i=;i<=tot;i++)
{
while(area(con[i],con[mod(i+)],con[u])<area(con[i],con[mod(i+)],con[mod(u+)])) u=mod(u+);
while(pro(con[r]-con[l],con[mod(i+)]-con[i])<pro(con[r]-con[mod(l+)],con[mod(i+)]-con[i])) l=mod(l+);
while(pro(con[r]-con[l],con[mod(i+)]-con[i])<pro(con[mod(r+)]-con[l],con[mod(i+)]-con[i])) r=mod(r+);
double w=pro(con[r]-con[l],con[mod(i+)]-con[i]);
double h=area(con[i],con[mod(i+)],con[u])/length(con[mod(i+)]-con[i]);
if(w*h<ans)
{
ans=w*h;
Coor v=con[mod(i+)]-con[i];
rect[]=proc(con[l],con[i],con[mod(i+)]);
rect[]=proc(con[r],con[i],con[mod(i+)]);
rect[]=proc(con[l],con[u],con[u]+v);
rect[]=proc(con[r],con[u],con[u]+v);
}
}
for(int i=;i<;i++)
{
if(rect[i].y<rect[].y || (rect[i].y==rect[].y && rect[i].x<rect[].x))
{
swap(rect[],rect[i]);
}
}
sort(rect+,rect+,cmp);
for(int i=;i<;i++)
{
if(eq(rect[i].x,)) rect[i].x=;
if(eq(rect[i].y,)) rect[i].y=;
}
} void work()
{
graham();
rc();
printf("%.5f\n",ans);
for(int i=;i<;i++) printf("%.5f %.5f\n",rect[i].x,rect[i].y);
} int main()
{
read();
work();
}
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