关于KMP的一点思考

KMP的$next$数组的性质很精妙，有必要开一个坑学习一下

Part 1 啥是next

$next[i]$表示对于$pre_i$这个字符串，这个抠出来的字符串本身后缀和前缀相等的最长长度。是一个自变量只和这个子串有关的函数。这点很重要

由于保证了是最长长度，这个数有一些优良的性质，常常在关于一个串的循环表示或者周期表示中发挥作用。

注意到这个$next[i]$虽然代表是这个最长长度，但是值得注意的是，由于字符串从1开始编号，所以这个值也是那个前缀的下标。

Part2 如何求next

边界条件是，$nx[1]=0$。考虑我们若已经求得前面$i-1$的位置的$nx$值，现在如何求$nx[i]$。

把$S[1\dots i-1]$看做一个整体，现在我们在后面加入了一个字符$S[i]=c$。

我们现在就是要在$pre_{nx[i-1]}$中截一个最大的位置$p$，使得$S[p+1]=c$，而$p$虽然是下标，但是由于从$1$开始编号那么就同时就是这个串的长度，所以$nx[i]=p+1$。为什么是在$pre_{nx[i-1]}$中找呢？因为我们要保证$S[i-p+1...i]=S[1,p]$。

所以如何找$p$呢？由于我们要保证刚刚写的这个等式，可以发现$p$一定是在$G=(V,E),E=(x,nx[x])$这样的图中和$nx[i-1]$联通的到祖先的链上，所以我们一直暴力跳$nx[]$也就是遍历这条链，直到第一次找到一个位置$p$使得$S[nx[p]+1]=S[i]$。

但是你可能觉得这样的复杂度是假的，下面我将证(复)明(读)暴力跳$nx[]$遍历的复杂度不超过$O(n)$

可以发现$nx[i]\le nx[i-1]+1$，得证。

哈哈哈哈

其实就是，$nx[i]$的总增长是$O(n)$的，而且一次最多增长$1$，所以在其间不断跳的复杂度不超过$O(n)$。(总共只有这么多$nx$给你跳啊！)

代码：

	for(int t=2;t<=s2;++t){

		nx[t]=nx[t-1];

		while(nx[t]>0&&T[nx[t]+1]!=T[t]) nx[t]=nx[nx[t]];

		if(T[nx[t]+1]==T[t]) ++nx[t];

	}

Part 3 一些性质

由于我马上就要咕咕咕所以

P3435 [POI2006]OKR-Periods of Words

//@winlere

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#define getchar() (__c==__ed?(__ed=__buf+fread(__c=__buf,1,1<<18,stdin),*__c++):*__c++)

using namespace std;  typedef long long ll;   char __buf[1<<18],*__c=__buf,*__ed=__buf;

inline int qr(){

	register int ret=0,f=0;

	register char c=getchar();

	while(!isdigit(c))f|=c==45,c=getchar();

	while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();

	return f?-ret:ret;

}

const int maxn=1e6+5;

char c[maxn];

int n,nx[maxn],cut[maxn];

inline void kmp(){

	for(int t=2;t<=n;++t){

		nx[t]=nx[t-1];

		while(nx[t]>0&&c[nx[t]+1]!=c[t]) nx[t]=nx[nx[t]];

		if(c[nx[t]+1]==c[t]) ++nx[t];

	}

}

int Find(const int&p){

	if(!nx[p]) return p;

	if(cut[p]) return cut[p];

	return cut[p]=Find(nx[p]);

}

int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE

	freopen("in.in","r",stdin);

	//freopen("out.out","w",stdout);

#endif

	scanf("%d%s",&n,c+1);

	kmp();

	ll ans=0;

	for(int t=1;t<=n;++t)

		ans=(ans+t-Find(t));

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}

[P4824 USACO15FEB]Censoring (Silver) 审查(银)

//@winlere

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;  typedef long long ll;

const int maxn=1e6+5;

char S[maxn],T[maxn];

pair<int,int> stk[maxn];

int s1,s2,top,nx[maxn];

int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE

	freopen("in.in","r",stdin);

	freopen("out.out","w",stdout);

#endif

	scanf("%s%s",S+1,T+1);

	s1=strlen(S+1);

	s2=strlen(T+1);

	for(int t=2;t<=s2;++t){

		nx[t]=nx[t-1];

		while(nx[t]>0&&T[nx[t]+1]!=T[t]) nx[t]=nx[nx[t]];

		if(T[nx[t]+1]==T[t]) ++nx[t];

	}

	int p=0;

	for(int t=1;t<=s1;++t){

		while(p&&T[p+1]!=S[t]) p=nx[p];

		if(T[p+1]==S[t]) ++p;

		stk[++top]=(pair<int,int>){t,p};

		if(p==s2) top-=s2,p=stk[top].second;

	}

	for(int t=1;t<=top;++t) printf("%c",S[stk[t].first]);

	putchar('\n');

	return 0;

}