uoj 66 新年的巧克力棒 数学

#66. 新年的巧克力棒

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题目连接

http://uoj.ac/problem/66

Description

马上就要到羊年了，羊村一片欢腾，懒羊羊则懒洋洋地躺在草坪上吃新年的巧克力棒。

他手上的巧克力棒是个由 n 个巧克力单元格组成的长度为 n 的长条，现在懒羊羊想把巧克力棒掰开成一个个小单元格。

初始时懒羊羊会把这根巧克力棒丢在草坪上，然后每次懒羊羊会从草坪上拿起一根长度大于 1 的巧克力棒，然后从某两个相邻的单元格的间隙处掰开变成两根巧克力棒，然后把这两根巧克力棒丢在草坪上。懒羊羊初始愉悦值为 0，每次掰开巧克力棒后如果这两根巧克力棒长度相等，那么懒羊羊将提升 1 点愉悦值。

当然，草坪上全是长度为 1 的巧克力棒时懒羊羊就会停止操作。现在懒羊羊想知道，他能获得的愉悦值最多是多少？

Input

一行一个正整数 T。

接下来 T 行，每行一个正整数 n 表示巧克力棒的长度，你需要对每个给出的 n 计算最多能获得的愉悦值。

Output

T 行每行一个整数，表示懒羊羊最多能获得的愉悦值。

Sample Input

5
1
3
4
7
233333333

Sample Output

0
1
3
4
233333319

HINT

题意

题解：

其实这道可以打表+猜的，还是比较简单猜出来（个鬼！

官方题解：

算法一

有20分的数据巧克力棒长度非常小，直接搜索下或者手算就行了。
算法二

对于 n≤1000，我们可以用 DP 解决。 f[i]=max(f[k]+f[i−k]+[k==i−k])。[k=i−k] 表示 k=i−k 时为 1 否则为 0。时间复杂度 O(n2)，可以通过前 5 个点获得 50 分。
不靠谱的正解

你需要打个表，然后找规律，就能发现答案是 n−c(n)，其中 c(n) 是 n 的二进制表示中 1 的个数。然后就 AC 了！
靠谱的正解

我们用数学归纳法证明上述结论。我们按二进制中 1 的个数归纳。

对于只有一个 1，那么 n=2k，k 是某个正整数，那么显然应该每次折半，递推式是 f[n]=f[n/2]×2+1，解得 f[2k]=2k−1，只损失了1。

现在假设对于 1 的个数比 c(n) 少的都满足这个性质。

我们要证明，对于 1 的个数多于 1 个的时候，我们找到最低位的 1，假设在第 j 位，然后把 n 拆成 2j 和 n−2j，这是最优的。

根据归纳假设，我们只用看怎样能获得更少的 1。我们考虑两个数的加法，可以看作是先分别拆成 2 的整数次幂之和，然后每次找到两个相同的 2k 合并成一个 2k+1。在这个过程中 1 的个数显然是在减少的，所以对于任意 i 均有 c(n)≤c(i)+c(n−i)。而当 i=2j 时可以取到等号，所以这就证明了这个算法的正确性。

代码：

//qscqesze
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <queue>
#include <typeinfo>
#include <fstream>
#include <map>
#include <stack>
typedef long long ll;
using namespace std;
//freopen("D.in","r",stdin);
//freopen("D.out","w",stdout);
#define sspeed ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0)
#define maxn 200001
#define mod 10007
#define eps 1e-9
int Num;
char CH[];
//const int inf=0x7fffffff;   //нчоч╢С
const int inf=0x3f3f3f3f;
/*

inline void P(int x)
{
    Num=0;if(!x){putchar('0');puts("");return;}
    while(x>0)CH[++Num]=x%10,x/=10;
    while(Num)putchar(CH[Num--]+48);
    puts("");
}
*/
inline ll read()
{
    ll x=,f=;char ch=getchar();
    while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
    while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void P(int x)
{
    Num=;if(!x){putchar('');puts("");return;}
    while(x>)CH[++Num]=x%,x/=;
    while(Num)putchar(CH[Num--]+);
    puts("");
}
//**************************************************************************************

int main()
{
    //freopen("test.txt","r",stdin);
    int t=read();
    while(t--)
    {
        int a=read();h
        int ans=a;
        while(a)
        {
            a-=a&(-a);
            ans--;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}

马上就要到羊年了，羊村一片欢腾，懒羊羊则懒洋洋地躺在草坪上吃新年的巧克力棒。

他手上的巧克力棒是个由 n 个巧克力单元格组成的长度为 n 的长条，现在懒羊羊想把巧克力棒掰开成一个个小单元格。

初始时懒羊羊会把这根巧克力棒丢在草坪上，然后每次懒羊羊会从草坪上拿起一根长度大于 1 的巧克力棒，然后从某两个相邻的单元格的间隙处掰开变成两根巧克力棒，然后把这两根巧克力棒丢在草坪上。懒羊羊初始愉悦值为 0，每次掰开巧克力棒后如果这两根巧克力棒长度相等，那么懒羊羊将提升 1 点愉悦值。

当然，草坪上全是长度为 1 的巧克力棒时懒羊羊就会停止操作。现在懒羊羊想知道，他能获得的愉悦值最多是多少？