RSA的原理和简单实践

RSA加密是一种非对称加密，原理是：

• 使⽤算法可以⽣成两把钥匙 A 和 B
• 使⽤ A 加密的信息，使⽤ B 可以解开
• 使⽤ B 加密的信息，使⽤ A 可以解开

⽇常使⽤中，我们把⼀把作为公钥公开发布。⼀把作为私钥，⾃⼰保留。这样，任何⼈都可以使⽤我们的公钥加密信息发给我们，我们则可以使⽤⾃⼰的私钥解开。

只要把私钥保存好，这个通信系统就⾮常安全。

数学基础

1. 欧拉函数

欧拉函数的输入是一个正整数，输出小于这个正整数的、跟它互质的整数数量。

定义是：

\[\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_m})
\]

\(p_1, p_2, \cdots, p_m\) 表示 \(n\) 的 $ m $ 个质因子，重复的算一个。

比如5，它是个质数，只有它自己一个因子，所以\(\phi(5) = 5 \times (1 - \frac{1}{5}) = 4\)。

当然你也能猜出来，因为跟一个质数互质的数就是从1到它的前驱数的全部自然数，所以对于任意质数 \(p\) 都有

\[\phi(p) = p-1
\]

对于合数呢？比如 \(6 = 2 \times 3\)，所以 \(\phi(6) = 6 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 2\) ，也就是6有2个互质数，我们数一下就是1和5。

再看一个比如12，\(12 = 2^2 \times 3\)，所以 \(\phi(12) = 12 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 4\)。我们数一下12的互质数有1、5、7、11四个。

规定\(\phi(1)=1\)

欧拉函数的证明比较简单，可以自行AI。

2. 欧拉定理

当正整数 \(a\) 和 \(n\) 互质时，有

\[a^{\phi(n)}\equiv 1 (\textbf{mod } n )
\]

换句话说，\(a^{\phi(n)} - 1\) 可以被 \(n\) 整除。

例如，7和10互质。\(7^{\phi(10)} = 7^4 = 2401\)，减去1时10的倍数；

反过来，\(10^{\phi(7)} = 10^6 = 100,0000\)，减去1是999999，\(999999 \div 7 = 142857\) （就是1/7 的循环节）。

3. 模反元素

从上面计算的过程可以看出来，如果正整数 \(a\) 和 \(n\) 互质时，一定能找出一个正整数 \(b\)，使得

\[ab \equiv 1 (\textbf{mod } n)
\]

\(b\) 就叫 \(a\) 的模反元素。

模反元素肯定存在。最起码，由于 \(a^{\phi(n)} = a a^{\phi(n) - 1} \equiv 1 (\textbf{mod } n)\) 所以 $ b = a^{\phi(n) - 1}$。

实际上，\(b\) 加减 \(n\) 的倍数都是 \(a\) 的模反元素。

比如上面看到了，10对7的模反元素可以是10万，因为100万减1是7的倍数。那么用10万减去7的14285倍也就是99995得到5，5乘以10得到50，再减1也是7的倍数。

密钥生成

上面就是全部的数学基础。通过这些可以来生成密钥了。

1. 随机选择两个大质数p和q并计算他们的积n

为了演示，这里选择p = 7和q = 11，有 n = 77。

实际应用中，要求n的位数在600位以上才能保证安全。

因为要求n的二进制位大于2048，折成十进制就是617位以上

2. 计算n的欧拉函数 \(\phi(n)\)

虽然n很大，但是由于p和q是质数，所以就简单了

\[\phi(n) = (p -1)(q-1)
\]

在我们例子里就是6*10 = 60。

后面为了写起来方便，用字母 \(z\) 表示欧拉函数的结果：\(z = \phi(n)\)。

3. 选择一个数e跟 \(\phi(n)\) 互质并计算e的模反元素d

要找一个数跟 \(z\) 互质，e可以比 \(\phi(n)\) 更大。不过 \(\phi(n)\) 已经很大了，所以一般最大也就使用65537。

使用公开的数不会降低系统安全性

这里需要跟60互质，我们选择e = 13。

简单应用上面的方法，可以得到 \(d = e^{\phi({60})-1}\)。

这个60比较小，\(60=2^2 \times 3 \times 5\)， 所以\(\phi(60) = 16\)， \(d = 13 ^ {15}\) 虽然大但是也能算出来。

但是在实际中，\(z\) 通常大得很，就算能求出它的欧拉函数值，模反元素也算不出来。

扩展欧几里得算法

换一种思路。既然 \(ed \equiv 1 (\textbf{mod } z)\)，也就是 \(ed-kz=1\)，k是某个整数。

而扩展欧几里得算法不仅可以求出两个整数a和b的最大公约数d，还可以找到整数x和y，使得

\[ax+by=d
\]

算法实现很简单：

fn extended_gcd(a: i64, b: i64) -> (i64, i64, i64) {
    if b == 0 {
        (a, 1, 0)
    } else {
        let (gcd, x1, y1) = extended_gcd(b, a % b);
        let x = y1;
        let y = x1 - (a / b) * y1;
        (gcd, x, y)
    }
}

代入13和60，得到d=-23。给它加60的倍数使它变成正数，所以d=37。

这样，公钥就是[n, e]=[77,13]，私钥就是[n,d]=[77,37]。

私钥的安全性

已知公钥能算出私钥吗？

• 因为 \(ed \equiv 1 (\textbf{mod } z)\)，而e已知，所以想算出d需要知道z
• \(z = \phi(n) = (p -1)(q-1)\)，需要拿到p和q
• \(n = p \times q\)，n已知，分解质因数可得p和q

所以这套逻辑的保证就是第三步很难。而一旦成功分解了，私钥就很容易算了。

加密和解密

加密过程

被加密的消息 m 需要是⼀个⼩于 n 的整数（我们可以将任意字节流直接解读为⼀个⽆符号整数）。如果消息太⼤，解读为整数以后⽐ n 要⼤，那么就分段加密。

实际应用中，我们不会直接⽤ RSA 来加密消息，⽽是⽤ RSA 来加密⼀个对称秘钥，再⽤这个秘钥加密消息。

加密的过程就是计算下面这个c的过程：

\[m^{e} \equiv c (\textbf{ mod } n)
\]

假设我们要加密的消息是50，使用上面的计算

\[50^{13} \equiv c (\textbf{ mod } 77)
\]

可得c=29，这就是加密后的消息。

计算c的算法可以参考

fn main() {
    let base = 50; // 原始消息，不能大于77
    let exponent = 13;
    let modulus = 77;
    let result = modular_exponentiation(base, exponent, modulus);
    println!("{}", result); // 加密结果
}

fn modular_exponentiation(base: i64, exponent: i64, modulus: i64) -> i64 {
    let mut result = 1;
    let mut base = base % modulus;
    let mut exponent = exponent;
    while exponent > 0 {
        if exponent % 2 == 1 {
            result = (result * base) % modulus;
        }
        exponent >>= 1;
        base = (base * base) % modulus;
    }
    result
}

解密过程

解密过程是一样的，依据是

\[c^{d} \equiv m (\textbf{ mod } n)
\]

    let base = 29;
    let exponent = 37;
    let modulus = 77;
    let result = modular_exponentiation(base, exponent, modulus);
    println!("{}", result);

输出结果是50，就是我们原来的消息。

解密依据的证明

为什么当 \(m^{e} \equiv c (\textbf{ mod } n)\) 时会有 \(c^{d} \equiv m (\textbf{ mod } n)\) 呢？

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\[\because m^{e} \equiv c (\textbf{ mod } n) \\
\therefore c= m^e-kn
\]

代入目标式：

\[({m^e-kn})^d\equiv m (\textbf{ mod } n)
\]

根据二项式定理，左边展开后除了第一项是$ m^{ed}$ 其余项都含有 \(kn\)，必然是n的倍数，所以舍弃这些项。只要证明

\[m^{ed} \equiv m (\textbf{ mod } n)
\]

即可。

根据定义，

\[\because ed \equiv 1 (\textbf{ mod } z) \\
\therefore ed = 1+hz
\]

代入可得

\[m^{1+hz} = m^{h \phi(n) + 1} \equiv m (\textbf{ mod } n)
\]

1. 当m和n互质时

\[\because m^{\phi(n)} \equiv 1(\textbf{ mod } n) \\
\therefore m^{\phi(n)} = rn + 1 \\
m^{\phi(n)h} = (rn + 1)^h \overset{\underset{\mathrm{二项式定理}}{}}{=} tn + 1 \\
\therefore m^{\phi(n)h} \equiv 1(\textbf{ mod } n) \\
\therefore m^{\phi(n)h} m \equiv m(\textbf{ mod } n)
\]

得证。

2. 当m和n不互质

不互质时m只能时p或q的倍数。

以 \(m = kp\) 为例，k必然小于q，因为m<n。因为q是质数，所以k与q互质。同时m也跟q互质，否则m就大于n了。

\[\because m^{\phi(q)} \equiv 1(\textbf{ mod } q) \\
\therefore (kp)^{q-1} \equiv 1(\textbf{ mod } q) \\
\therefore (kp)^{q-1} =tq + 1 \\
\therefore (kp)^{(q-1)h(p-1)} =(tq + 1)^{h(p-1)}
\]

又根据二项式定理

\[(kp)^{(q-1)h(p-1)} \equiv 1(\textbf{ mod } q) \\
\therefore (kp)^{(q-1)h(p-1)} kp \equiv kp (\textbf{ mod } q) \\
(kp)^{ed} \equiv kp (\textbf{ mod } q) \\
\therefore (kp)^{ed} = kp + tq
\]

要使等式成立，每一项都需要是p的倍数，所以tq是p的倍数。因为q不是p的倍数，所以t是p的倍数 t = vp：

\[(kp)^{ed} = kp + vpq \\
m^{ed} = m + vn \\
\therefore m^{ed} \equiv m (\textbf{ mod } n)
\]

得证。