【读书笔记】排列研究-置换角度(分解为Products Of Cycles) 含GroupExploer使用

upd 2020-08-06 23:11完成了最初稿

定义
开胃菜 entrée
群论角度
应用：几何变换
当然要从第一类斯特林数的角度来考虑一下

开篇警告全是群论

开篇警告全是群论

开篇警告全是群论

开篇警告全是群论

开篇警告全是群论

开篇警告全是群论

开篇警告全是群论

定义

一个排列的cycle decomposition:如标题所示，不解释。这里把一个排列看成一个置换$f$了。记号上就是：举例，置换215463的圆分解(1 2)(3 5 6)(4)

已知$f$的结构，$f^m$是Identity，让你求$m$。$m$称作$f$的阶(order)。$m$是$lcm$(f的各个cycle长度）

定义permutation matrices 下面两种定义互为转置矩阵,而且$A_pB_p=B_pA_p=I$

\[举例\\
If \ p=2413=(4312), then\ we\ have\ \\

A_{p}=\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right)
\\
B_{p}=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
\]

自然而然的会问二者中哪一种定义更好用？

考虑到$B_{pq}=B_q\cdot B_p$和$A_{pq}=A_p\cdot A_q$ ($A_{pq}$记号的意思是【先p置换再q置换成新的置换】的矩阵）$A_p$的定义可能更合适。

比如要把一个列向量$x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$置换为$x=(x_2,x_4,x_1,x_3)^T$ 矩阵记号就是$B_px$ $B_q(B_px)=B_{pq}(x)$

如果是行向量$y$的话，矩阵记号就是$yA_p$ $yA_{pq}=yA_pA_q$

开胃菜 entrée

定义一个排列是奇/偶的，如果逆序对个数是奇/偶的

A permutation that consists of exactly one even cycle is odd.

A permutation that consists of exactly one odd cycle is even.

群论角度

写到这里我要恶补一下《群论——可视化方法》的 5.4对称群和交错群

接着看别人制作的出色群论科普项目Group Exporer

应用：几何变换

先介绍两面正多边形纸片和对应的$D_n$二面体群。然后好像是点标号，把旋转和翻转理解为置换

接着提了一下三维的正方体在三维空间中的刚体运动（那么只考虑绕轴旋转），正方体的旋转群是$S_4$

关于离散子群的一些杂记@陆zz

当然要从第一类斯特林数的角度来考虑一下

把$n$人分成$k$个圆桌排列。。。

一个排列的type定义

先定义一个排列的type：排列圆分解后，有$a_i$个长度为$i$的cycles，$(a_1,a_2,...,a_n)$就称作排列的type

举例：The permutation p=(21) (534) (6) (987) is of type (1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0).

从排列的type定义就可以看出来，按照type的不同把置换分成了$p(n)$个等价类，有$p(n)$个type ($p(n)$是分拆数)

排旗公式

$\mathrm{PROPOSITION 3.12}$

Let $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ be an n-tuple of nonnegative integers so that $\sum_{i=1}^{n} a_{i} \cdot i=n$ ,Then the number of n-permutations of type $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ is

\[\frac{n !}{a_{1} ! a_{2} ! \cdots a_{n} ! 1^{a_{1}} 2^{a_{2}} \ldots n^{a_{n}}}
\]

没得讲，高中时的排旗公式(给你红白蓝的棋子各若干，问你能组成多少种旗语;计算三国杀1主公1内奸2忠臣4反贼可能坐位,如果反贼间无区别，忠臣间无区别，主公总在一号位)

应用-共轭排列

In the symmetric group $S_n$, two permutations $g$ and $h$ are called conjugates of each other if there exists an element $f\in S_n$so that $ƒgƒ^{-1}=h$ holds. (有点像线性代数里的矩阵相似)

对称群$S_n$中的置换$g$和$h$共轭，当且仅当$g$和$h$是相同的type

we showed that conjugating by $f$ turned the cycle $\left(b_{1} b_{2} \cdots b_{k}\right)$ into the cycle $\left(f^{-1}\left(b_{1}\right) f^{-1}\left(b_{2}\right) \cdots f^{-1}\left(b_{k}\right)\right) .$

应用-树和Transposition换位

定义

换位，两个不同位置的元素交换，(i,j) transposition

相邻换位，两个相邻位置的元素交换，(i,i+1) adjacent transposition

一个排列是cyclic的，当且仅当排列的圆分解就是一个圆 比如4123

结论

Prove that any element of $S_n$ can be obtained as a product of (not necessarily distinct) adjacent transpositions. 不解释

回到正题——讲(无符号)第一类斯特林数

先空着

资料来自网络

书用的是Combinatorics of permutations by Miklos Bona