狄利克雷过程(Dirichlet Process）

先从狄利克雷过程的motivation开始说起，如果我们有一些数据，这些数据是从几个高斯分布中得出的，也就是混合高斯模型中得出的，比如下图这样

但是呢，我们并不知道混合高斯模型中到底有多少个高斯分布，它可能是这样

也可能是这样

在这个情况下，最大期望算法并不能解决这个问题，所以我们就需要狄利克雷过程来帮助我们。现实生活中的例子可以是，我有一堆论文但是我不知道这些论文到底讨论了多少论题。

首先，需要明确的是我们使用狄利克雷过程是想解决聚类的问题，有多少类我并不知道。我们从最极端的例子开始考虑，假设有 $N$ 个数据 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{N}$ ，每个数据都是从不同的分布产生的 $g_{1}, g_{2},...,g_{N}$ 。那么，每一个分布会有对应自己的参数 $\theta_{1},\theta_{2},...,\theta_{N}$ ，例如 $g_{i}$ 是高斯分布，那么 $\theta_{i}=\left\{ \mu_{i},\sigma_{i} \right\}$ 。既然， $x_{i}$ 是分布 $g_{i}$ 产生的， $g_{i}$ 又可以用 $\theta_{i}$ 来定义，那么我们可以对 $\theta_{i}$ 建模。假设 $\theta_{i}$ 是遵循某一个分布 $H(\theta)$ ，我们想想当 $H(\theta)$ 是连续分布的时候 $\mathbb{P}(\theta_{i}=\theta{j})=0, i\neq j$ ，这也就是我之前假设的，每个数据都来自不同的分布。但是，这个假设并不是我们想要的，我们想要解决的是聚类问题。所以，我们就想到构造一个离散的分布 $G$ 使得 $\theta_{i} \sim\ G$ ，而且 $G$ 要和 $H(\theta)$ 长得非常像。这个离散分布 $G$ 就服从狄利克雷过程，也就是 $G\sim\ DP(\alpha, H)$ 。狄利克雷过程里的 $H$ ，就是我之前提到的 $H(\theta)$ 也称作base measure，且不一定是连续的，也可以是离散的。 $\alpha$ 是一个矢量且 $\alpha >0$ ，可以理解为离散程度：如果 $\alpha$ 很大代表非常不离散，当 $\alpha\rightarrow\infty$ 的时候 $G=H$ ， $\alpha$ 小就代表非常的离散，当 $\alpha=0$ 的时候，我们就是在用一个分布来对所有的 $\theta$ 建模。这里我需要说一下，为了解释的简单一点，这样解释其实不是非常的准确，但是这样理解是没有问题的。

讲到这里，我必须提醒一下大家， $G$ 是从狄利克雷过程中产生的，不是一个随机变量而是一整个离散分布。

这里我讲完了狄利克雷过程的大致理解，接下来说狄利克雷过程具体是怎么定义的，和狄利克雷过程与狄利克雷分布的一些联系。

假设 $G_{i}$ 都是从同一个狄利克雷过程中产生的，那么他们必然是有某一些内在的联系，至少得长得比较像。如下图，这两个分布，都是是从 $DP(1000,N(0,1))$ 过程中产生的。我们将这两个分布，分成 $d$ 个不同的区域 $a_{1},a_{2},...,a_{d}$ ，这个可以任意划分

重申一下， $G_{1},G_{2}$ 都是完整的分布，所以 $\int_{a_{1}}G_{i}+\int_{a_{2}}G_{i}+...+\int_{a_{d}}G_{i}=G_{i}(a_{1})+G_{i}(a_{2})+...+G_{i}(a_{d})=1,i=1,2$

从图中，我们也可以看出，每一个区域，长相都是略有相似的，所以我们定义： $(G(a_{1}),G(a_{2}),..,G(a_{d}))\sim\ Dirichlet(\alpha H(a_{1}),\alpha H(a_{2}),...,\alpha H(a_{d}))$

以上其实就是狄利克雷过程的定义。也就是说 $G$ 在每一个空间 $a_{i}$ 里面的测度都要服从一个狄雷克雷分布。

以上就讲完了狄利克雷过程的定义，其实呢还想讲一讲狄利克雷过程的一些性质，因为确实有一些非常有意思的性质，也对我前面狄利克雷过程的解释有一些呼应。

随手百度就可以知道如果 $\mathbb{P}(x_{1},x_{2},...,x_{n})\sim\ Dirichlet(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ ，则

$\mathbb{E}(x_{i})=\frac{a_{i}}{\sum_{i=1}^{n}{a_{i}}}$ ， $Var(x_{i})=\frac{a_{i}(\sum_{n}{a_{n}-a_{i}})}{(\sum_{n}{a_{n}})^{2}(\sum_{n}{a_{n}+1})}$

根据狄利克雷过程的定义，

$(G(a_{1}),G(a_{2}),..,G(a_{d}))\sim\ Dirichlet(\alpha H(a_{1}),\alpha H(a_{2}),...,\alpha H(a_{d}))$

我们将 $G$ 带入狄利克雷分布的期望和方差式子里面我们可以看到

$\mathbb{E}(G(a_{i}))=\frac{\alpha H(a_{i})}{\sum_{i=1}^{n}{\alpha H(a_{i})}}=\frac{\alpha H(a_{i})}{\alpha}=H(a_{i})$ 因为 $H$ 是一个分布， $\int_{a}H(a)=1$

$Var(G(a_{i}))=\frac{\alpha H(a_{i})(\alpha-\alpha H(a_{i}))}{(\alpha)^{2}(\alpha+1)}=\frac{H(a_{i})(1-H(a_{i}))}{\alpha+1}$

从上面的式子中，首先我们可以看到， $G(a_{i})$ 的期望是和 $\alpha$ 没有关系的，而且就是等于 $H(\alpha_{i})$ ，这也符合最开始我说过的，我们的目的是构造一个尽量和 $H$ 相近的离散分布。同样，前面我也提到 $\alpha$ 代表了这个狄利克雷过程到底有多离散。当 $\alpha\rightarrow\infty$ ， $Var(G(x_{i}))=0$ 也就是最不离散的情况。当 $\alpha=0$ ， $Var(G(x_{i}))=H(a_{i})(1-H(a_{i}))$ ，结合 $\mathbb{E}(G(a_{i}))=H(a_{i})$ ，是不是有点儿眼熟？对，就是伯努利分布。也就是说，要么有一个测度在 $a_{i}$ 里面，要么就不在，这也就是最离散的情况。

链接：https://www.zhihu.com/question/31398469/answer/533132532

DP的构造：stick breaking （掰棍构造，断棒过程）

$\theta_{i}$ 是从 $H$ 这个分布中产生的，它的位置和DP中的 $\alpha$ 参数无关，但是它的权重πi和 $\alpha$ 有关。βi~Beta(1,α) 服从Beta分布，范围为（0，1）

π1 = β1，π2= （1 - π1）*β2，... 第一根棍子的长度为权重值，第二根棍子的长度为剩余长度*权重值

E[βi] = 1/1+α , 如果α=0，说明第一次采样的时候，就把所有的权重都给第一个样本，对应只有一根棍子，也就是说G是最离散的版本（用一个值来代表整个分布）

当α趋于无穷，每个θ都是一个很小的权重，也就是说G=H。

G~DP(α,H)

θ~G

xi~F(θ)

迪利克雷过程的性质：

G~DP(a,H) <=> (G(a1),...G(ak)) ~ DIR(aH(a1),...,aH(ak))

P(G|θ₁.....θ_n) : G的后验

P(θ₁.....θ_n|G)：G的先验，因为G是一个分布，所以先验就为G

P(G)：多项式似然函数

根据贝叶斯理论，P(G|θ₁.....θ_n) 正比与 P(θ₁.....θ_n|G) * P(G)

一个离散的分布P服从DIR迪利克雷分布，数据n1...nk服从多项式分布

(P1,...PK)~DIR(a1,...,ak)

(n1,...,nk)~mult(P1,...PK)

那么P(P1,...PK|n1,...,nk) = DIR(a1+n1,...,ak+nk)

类比下来

P(G(a1),...G(ak) | n1,...,nk) 正比与mult(n1,...,nk | G(a1),...G(ak))* DIR(aH(a1),...,aH(ak)) = DIR(aH(a1)+a1,...,aH(ak)+ak)

根据这个性质：G~DP(a,H) <=> (G(a1),...G(ak)) ~ DIR(aH(a1),...,aH(ak))

δ是狄拉克函数，在集合里面取1，在集合外面取0，集合在这里是指基分布（H）被划分成的区间，\delta δ就是统计有多少atom落在每个区间的个数。

为一个连续的分布+一个离散的分布（称为 stick and slab)

狄利克雷过程(Dirichlet Process）的更多相关文章

转：狄利克雷过程（dirichlet process ）的五种理解
狄利克雷过程(dirichlet process )的五种理解原文:http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7342837 无参数贝叶 ...
狄利克雷过程（Dirichlet Process）
0. 引入现观察得到两个样本 θ1,θ2,来推测它们可能来自的分布: 假设来自于连续型概率密度函数, θ1,θ2∼H(θ) 则 θ1,θ2 相等的概率为 0,p(θ1=θ2)=0 概率为 0,不代表 ...
转：Simple Introduction to Dirichlet Process
来源:http://hi.baidu.com/vyfrcemnsnbgxyd/item/2f10ecc3fc35597dced4f88b Dirichlet Process(DP)是一个很重要的统计模 ...
Notes on the Dirichlet Distribution and Dirichlet Process
Notes on the Dirichlet Distribution and Dirichlet Process In [3]: %matplotlib inline Note: I wrote ...
Dirichlet Process 和 Dirichlet Process Mixture模型
Dirichlet Process 和 Dirichlet Process Mixture模型 [本文链接:http://www.cnblogs.com/breezedeus/archive/2012 ...
Dirichlet Process
http://www.cnblogs.com/zhangbojiangfeng/p/5962039.html [各种函数推导]
【综述】(MIT博士）林达华老师－"概率模型与计算机视觉”
[综述](MIT博士)林达华老师-"概率模型与计算机视觉” 距上一次邀请中国科学院的樊彬老师为我们撰写图像特征描述符方面的综述(http://www.sigvc.org/bbs/thread ...
PGM：概率图模型Graphical Model
http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/51461878 概率图模型Graphical Models简介完全通过代数计算来对更加复杂的模型进行建 ...
概率图模型（PGM）综述-by MIT 林达华博士
声明:本文转载自http://www.sigvc.org/bbs/thread-728-1-1.html,个人感觉是很好的PGM理论综述,高屋建瓴的总结了PGM的主要分支和发展趋势,特收藏于此. “概 ...
The Dirichlet Distribution 狄利克雷分布 (PRML 2.2.1)
The Dirichlet Distribution 狄利克雷分布 (PRML 2.2.1) Dirichlet分布可以看做是分布之上的分布.如何理解这句话,我们可以先举个例子:假设我们有一个骰子,其 ...

随机推荐

浅谈RMQ问题
RMQ:question 有一个长度为 N N N的数组,数组中的数是无序的( 1 < = n < = 5 ∗ 1 0 5 1<=n<=5*10^5 1<=n<=5 ...
Vue3的script setup语法糖这么好用的吗？？？？
最近发现这个vue3居然还可以这样写原始写法 <template> <h1>Tangdoudou</h1> <h1>{{ num }}</h1& ...
日常JS数据各种操作方法总结~~欢迎大家留言板补充哦~~
需求情景一: <!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta charset="UT ...
Redis缓存的主要异常及解决方案
作者:京东物流陈昌浩 1 导读 Redis 是当前最流行的 NoSQL数据库.Redis主要用来做缓存使用,在提高数据查询效率.保护数据库等方面起到了关键性的作用,很大程度上提高系统的性能.当然在使 ...
java入门与进阶 P-2.5+P-2.6
嵌套和级联的判断嵌套的判断当if的条件满足或者不满足的时候要执行的语句也可以是一条if或if-else语句,这就是嵌套的if语句 else的匹配 else总是和最近的那个if匹配 tips 在if ...
java 进阶P-5.5+P-6.1
框架加数据以框架+数据来提高可扩展性命令的解析是否可以脱离if-else 定义一个Handler来处理命令用Hash表来保存命令和Handler之间的关系抽象 Shape是什么形状 Shape ...
华为云MRS支持lakeformation能力,打造一站式湖仓，释放数据价值
摘要:对云端用户而言,业务价值发现是最重要的,华为MRS支持LakeFormation后,成功降低了数据应用的成本,帮助客户落地"存"与"算"的管理,加快推进了 ...
9月21日内容总结——计算机基础知识、typora软件的安装与软件内的部分markdown语法
今日内容总结目录今日内容总结一.路径 1.绝对路径 2.相对路径二.计算机的本质三.计算机的五大组成部分 1.控制器 2.运算器 PS:CPU=控制器+运算器 3.存储设备 4.输入设备 5 ...
用ChatGPT来了解ChatGPT
用ChatGPT来了解ChatGPT 之前学习一个新技术, 想着要搞清楚这6个问题(来自陈皓介绍的学习方法): 1.这个技术出现的背景, 初衷, 要达到什么样的目标或是要解决什么样的问题. 2.这个技 ...
P11_组件-button和image组件的基本用法
其它常用组件 button 按钮组件功能比 HTML 中的 button 按钮丰富通过 open-type 属性可以调用微信提供的各种功能(客服.转发.获取用户授权.获取用户信息等) image ...

狄利克雷过程(Dirichlet Process）

狄利克雷过程(Dirichlet Process）的更多相关文章

随机推荐

热门专题