[BZOJ1025][SCOI2009]游戏 DP+置换群

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1025

题目中的排数就是多少次回到原来的序列。很显然对于题目所描述的任意一种对应法则，其中一定有一个或者多个循环节。

设有$m$个循环节，每个循环节的大小为$A_i$，则回到最开始的序列需要置换$lcm\{A_i\} (i=1->m)$次。

于是问题变成了求$n=\sum_{i=1}^mA_i$，且$lcm\{A_i\} (i=1->m)$各不相同的$\{A\}$有多少种。

我们可以用一种很神的方法。首先可以发现对于任意一个数$A_i$，我们可以把它拆成若干个总和小于等于$A_i$的互不相同的质数，以及若干个1来提供对答案等价的贡献，证明显然。然后就很容易想到用枚举质数，直接把每一个$A_i$用一个质数$pri_i$的$s_i$次方来表示。这样其实就变成了类似于背包的问题，每一个$A_i$和1就是物品，背包容量就是$A_i$的总和，之后就很容易DP了。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int cnt=,p[];
 bool vis[];
 void sieve(){
     for(int i=;i<=;i++){
         if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
         for(int j=;j<=cnt&&i*p[j]<=;j++){
             vis[i*p[j]]=true;
             if(i%p[j]==) break;
         }
     }
 }
 int n;
 ll f[][];
 void dp(){
     ll ans=;
     f[][]=;
     for(int i=;i<=cnt;i++){
         for(int j=;j<=n;j++) f[i][j]=f[i-][j];
         for(int j=p[i];j<=n;j*=p[i])
             for(int k=;k+j<=n;k++)
                 f[i][k+j]+=f[i-][k];
     }
     for(int i=;i<=n;i++) ans+=f[cnt][i];
     printf("%lld\n",ans);
 }
 int main(){
     scanf("%d",&n);
     sieve();
     dp();
     return ;
 }