[SDOI2011]计算器（BSGS）

洛古题面

对于操作一，用快速幂算即可

代码如下

int quickpow(int a,int b,int k)
{
    int r=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) r=(r*a)%k;
        b>>=1;
        a=(a*a)%k;
    }
    return r;
}

对于操作二，用拓展欧几里得算法即可。

已知\(a,b,n\)，求\(x\)的最小值，使得\(a*x≡b(mod p)\)，可以转化为：\(a*x+p*y=b\)，则要求\(gcd(a,n)|b\)，否则无解。不定方程的求法可以参照这道题

\(exgcd\)代码如下

int exgcd(int a,int b,int&x,int&y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    re int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return gcd;
}

对于操作三，我们需要用到一个新的算法B(拔）S（山）G（盖）S（世），他可以快速的求出求，满足\(a^x ≡ b(mod p)\)的最小的非负整数\(x\)。

求法是将\(x\)拆分成\(i*m-j\)的形式（其中\(m\)为\(sqrt(p)\)向上取整的值，则原式化为\(a^{i*m-j} ≡ b(mod p)\)。

移向后得\(a^{i*m} ≡ b*a^j(mod p)\)

我们从\(0-m\)枚举\(j\)，并将\(b*a^j\)的所有值存入哈希表中

接着在从\(1-m\)枚举\(i\)，算出所有的\(a^{i*m}\)

如果一个i对应的\(a^{i*m}\)的值已经在哈希表中，则表明i*m-j为一个解，输出此时的解即可

因为j<=m，所以求出的解随i的增大而减小，所以最先求出的i所对的解，即为所求。

	re int y=read(),z=read(),p=read();
	re int m=ceil(sqrt(p));
	if(y%p==0&&z)
	{
		puts("Orz, I cannot find x!");
		continue;
	}
    //这里要特判，因为如果y%p==0了，那么不管x取何值，(y^x)%p一定为0。
	a.clear();
	re int now=z%p,f=quickpow(y,m,p);
	a[now]=0;
	for(re int i=1;i<=m;++i)
	{
		now=(now*y)%p;
		a[now]=i;
	}
	now=1;
	re int flag=1;
	for(re int i=1;i<=m;++i)
	{
		now=(now*f)%p;
		if(a[now])
		{
			re int ans=(i*m-a[now])%p;
			printf("%lld\n",(ans+p)%p);
			flag=0;
			break;
		}
	}
	if(flag) puts("Orz, I cannot find x!");

所有代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d\n",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout)
#define int long long
map<int,int>a;
il int read()
{
    re int x=0,f=1;re char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return x*f;
}
il int quickpow(int a,int b,int k)
{
    re int r=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) r=(r*a)%k;
        b>>=1;
        a=(a*a)%k;
    }
    return r;
}
il int exgcd(int a,int b,int&x,int&y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    re int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return gcd;
}
signed main()
{
    re int T=read(),k=read();
    if(k==1)
    {
        while(T--)
        {
            re int y=read(),z=read(),p=read();
            printf("%lld\n",quickpow(y,z,p));
        }
    }
    else if(k==2)
    {
        while(T--)
        {
            re int a=read(),b=read(),p=read(),x,y;
            re int gcd=exgcd(a,p,x,y);
            if(b%gcd) puts("Orz, I cannot find x!");
            else
            {
                re int temp=p/gcd;
                while(x<0) x+=temp;
                printf("%lld\n",((x*b/gcd)%temp+temp)%temp);
            }
        }
    }
    else
    {
        while(T--)
        {
            re int y=read(),z=read(),p=read();
            re int m=ceil(sqrt(p));
            if(y%p==0&&z)
            {
                puts("Orz, I cannot find x!");
                continue;
            }
            a.clear();
            re int now=z%p,f=quickpow(y,m,p);
            a[now]=0;
            for(re int i=1;i<=m;++i)
            {
                now=(now*y)%p;
                a[now]=i;
            }
            now=1;
            re int flag=1;
            for(re int i=1;i<=m;++i)
            {
                now=(now*f)%p;
                if(a[now])
                {
                    re int ans=(i*m-a[now])%p;
                    printf("%lld\n",(ans+p)%p);
                    flag=0;
                    break;
                }
            }
            if(flag) puts("Orz, I cannot find x!");
        }
    }
    return 0;
}