USACO 2005 January Gold The Wedding Juicer

题目

题目链接，我只在poj上找到了题目，usaco居然上不去。

大意就是说有一些\(1\times 1\times 1\)的小方块堆在一起，问最多能装多少水。

我们在一次测试中出了这题，由于我写水题的能力太弱，挂掉了。

算法1

这是我当时想到的方法。

我们可以统计出每一层能装多少水。由于层数达到了\(10^9\)，所以需要离散化一下。

我们可以用并查集来维护装水的面积。

时间复杂度：\(O(n^2 \alpha (n^2))\)。

算法2

这是《算法艺术》\(P89\)上的例题（同时也是POI的原题！）。

书上的想法是从外往内维护边缘的方块的高度，根据“木桶效应”，我们从中选一个最矮的来往里面更新，这个可以用优先队列加快速度。

其实我觉得还可以这样思考：先令整个空间堆满水，除了在外围的方块。不妨设\(h(i,j)\)为位于\((i,j)\)的方块的高度，\(f(i,j)\)为可以装多少水。我们可以不断地迭代更新：如果\((x,y)\)与\((i,j)\)相邻，那么\(f(x,y) = max(h(x,y), f(i,j))\)。这样经过有限次数的迭代之后我们就得到了正确答案。当然，这样的效率是很低的，我们可以利用DijkstraOrz的思想，每次用\(f\)最小的去迭代其他的，由于它已经是最小的了，不可能再被人迭代了（这正是Dijkstra最短路的思想），所以我们每个点只需要去更新其他相邻的点一次。同样，我们也可以用优先队列来加快这一过程。

时间复杂度：\(O(n^2 \log n^2)\)。