RMQ区间求最值

RMQ用于区间快速查找最值，适用于期间数值无更改的情况。其预处理的复杂度为O(nlogn)，查询的时间复杂度为O(1),对比于线段树的预处理O(nlogn)，查询O(logn)来说，在某些情况下有着其独到的优势。

RMQ原理就是在原来的数组上跑一个dp，我们以查询最大值为例，它的状态定义是这样的：

dp[ i ][ j ]：下标从i开始，长度为2^j的区间的最大值。显然dp[ i ][ 0 ]就是下标是i的那个数字本身。

下面给出其转移方程：

dp[ i ][ j ] = max( dp[ i ][ j - 1 ], dp[ i + 2 ^ j ][ j - 1 ] )

对于询问区间[ i ~ j ]的最大值Max：

设k = log( j - i + 1 ) / log( 2 )

Max = max( dp[ i ][ k ], dp[ j - 2 ^ k + 1 ][ k ] )

上述过程的具体代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <set>
#define eps 1e-10
#define MAXN 500010
#define INF 2*0x3f3f3f3f
using namespace std;

int num[MAXN], dp[MAXN][30], n, l, r;

int pow(int a, int p) { 	//求a^p这里用了快速幂，实际用应该用一个数组预处理一下
	if (p == 0) return 1;
	int ans = pow(a, p / 2);
	ans *= ans;
	if (p % 2) ans *= a;
	return ans;
}

int main() {
	//freopen("in.in", "r", stdin);
	//freopen("out.out", "w", stdout);
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d", &num[i]);

	for (int i = 1; i <= n; i++)	//对dp[i][0]进行初始化
		dp[i][0] = num[i];

	for (int j = 1; pow(2, j) <= n; j++)	//上文说的转移方程
		for (int i = 1; i + pow(2, j) - 1 <= n; i++)
			dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + pow(2, j - 1)][j - 1]);

	scanf("%d %d", &l, &r);	 //求区间[l~r]之间的最大值

	int k = log(r - l + 1) / log(2);
	int ans = max(dp[l][k], dp[r - pow(2, k) + 1][k]);
	printf("ans is : %d\n", ans);

	return 0;
}

RMQ问题在处理LCA中有着巨大的用处，其一种在线方法就是使用dfs+RMQ来求两个子节点的最近公共祖先问题，其大致做法就是按照访问的顺序把每个点的时间戳放入一个数组中，这样u和v的公共祖先就是数组中u和v之间时间戳最小的点，这里可以之间用RMQ在O(1)的时间内得到答案了。