[洛谷 P1013] NOIP1998 提高组 进制位

问题描述

著名科学家卢斯为了检查学生对进位制的理解，他给出了如下的一张加法表，表中的字母代表数字。 例如：

L K V E

L L K V E

K K V E KL

V V E KL KK

E E KL KK KV

其含义为：

L+L=L，L+K=K，L+V=V，L+E=E

K+L=K，K+K=V，K+V=E，K+E=KL

…… E+E=KV

根据这些规则可推导出：L=0，K=1，V=2，E=3，同时可以确定该表表示的是4进制加法

输入格式

n（n≤9）表示行数。

以下n行，每行包括n个字符串，每个字串间用空格隔开。（字串仅有一个为‘+’号，其它都由大写字母组成）

输出格式

① 各个字母表示什么数，格式如：L=0，K=1，……按给出的字母顺序。

② 加法运算是几进制的。

③ 若不可能组成加法表，则应输出“ERROR！”

样例输入

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L K V E

L L K V E

K K V E KL

V V E KL KK

E E KL KK KV

样例输出

L=0 K=1 V=2 E=3

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解析

看到这道题时，有没有想到搜索？然后就是一通码......然后过了。

但是，真的要用搜索吗？

我们可以观察一下。对于n进制中的数\(i\)，如果\(i\)加上某一个数\(j\)会变成两位数，那么可以得到如下不等式：

\[i+j>n-1 \Rightarrow j>n-1-i
\]

而满足要求的\(j\)的个数有\(n-1-(n-1-i)=i\)个。由此我们可以得到结论，一个字母的值就是这个字母对应的行中两位数的个数。我们所需要做的只是验证是否正确。那么怎样验证呢？最直接的办法是直接往里面代，但能否用另外的方法将每个字母的值算出呢？

这个比较难想。对于一个数\(i\)，如果想要\(j+k\)的个位数为\(i\)，必须满足\(i<k<n\)。那么，假设满足条件的\(k\)有\(a[i]\)个，\(i\)的值就是\(n-1-a[i]\)。\(a[i]\)只用求一个字母在两位数的个位上出现的次数即可。

另外，如果一个数在同一行中出现了两次，显然也是不对的，直接结束即可。

在下面的代码中，因为行数是\(n\)，所以其实是\(n-1\)进制的加法。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#define N 10
using namespace std;
int n,i,j,a[N],num[30];
char l[N];
int main()
{
	cin>>n;
	for(i=0;i<n;i++){
		char c;
		cin>>c;
		if(c!='+') l[i]=c;
	}
	for(i=2;i<=n;i++){
		string s1,s;
		for(j=1;j<=n;j++){
			cin>>s;
			if(j==1) continue;
			if(j!=2&&s==s1){
				cout<<"ERROR!"<<endl;
				return 0;
			}
			s1=s;
			if(i!=1&&j!=-1){
				int l=s.length();
				if(l==2){
					a[i-1]++;
					num[(int)s[l-1]]++;
				}
			}
		}
	}
	for(i=1;i<n;i++){
		if(a[i]!=n-2-num[(int)l[i]]){
			cout<<"ERROR!"<<endl;
			return 0;
		}
	}
	for(i=1;i<n;i++){
		cout<<l[i]<<"="<<a[i]<<' ';
	}
	cout<<endl<<n-1<<endl;
	return 0;
}