Atcoder Regular Contest 060 F题第一问答案证明

一切的开始

令 \(x\) 为字符串，\(p\) 为正整数。如果对于满足 \(0\le i<|x|−p\) 的任何整数 \(i\) 满足 \(x[i]=x[i+p]\)，则 \(p\) 称为 \(x\) 的周期。\(x\) 的最小周期表示为 \(per(x)\)。例如，\(per(abcabcabcab)=3\)。

令 \(N\) 为输入字符串 \(w\) 的长度。 情况划分如下：

（a）如果 \(w\) 是一个好的字符串（例如 \(w=ababa\)）
（b）当 \(per(w)=1\) 时（例如 \(w=aaaaa\)）
（c）其他情况（例如 \(w = abcabcabc\)）

在（a）的情况下，最佳表达明显为 \(1\)，最佳表达的为 \(1\)。
在（b）的情况下，最佳表达为 \(N\)，最佳表达的为 \(1\)。
在情况（c）中，我们可以证明最佳表达为 \(2\)（请参见下面的定理 \(5\)）。

定理 2

由 \(\text{KMP}\) 或者 \(\text{Z-Algorithm}\) 可知，如果正整数 \(p,q\) 是字符串 \(x\) 的周期，且 \(p+q-\gcd(p,q)\le |x|\)，则 \(gcd(p,q)\) 也是 \(x\) 的周期。

引理 3

令 \(x\) 为非空字符串，以下两个是等效的。

(i) \(x\) 不是好的字符串

(ii) \(|x|/per(x)\) 为 \(2\) 或更大的整数。

首先，如果 (ii) 成立，那么 (i) 肯定成立，所以在下文中 (i) 就是 (ii) 。

如果 \(x\) 不是一个好的字符串，\(|x|/per(x)\ge 2\) 从定义来说显而易见。接下来我们只需要证明 \(|x|/per(x)\) 是一个整数，\(x\) 不是一个好的字符串意味着存在一个字符串 \(y\) 和一个整数 \(k\ge 2\)，使得 \(x\) 是 \(y\) 重复 \(k\) 次后获得的字符串。令 \(p=per(x),q=|y|\)，则 \(p\le q=|x|/k\le |x|/2\)，由于 \(p,q\) 都是 \(x\) 的周期，且满足 \(p+q-\gcd(p,q)\le |x|\)，由定理 \(2\) 知，\(\gcd(p,q)\) 是 \(x\) 的周期，假设 \(|x|/per(x)\) 不是整数，则 \(q\) 不是 \(p\) 的倍数，此时 \(\gcd(p,q)<p\)，这与 \(p=per(x)\) 是 \(x\) 的最小周期相悖，因此 \(|x|/per(x)\) 是一个整数。

引理 4

令 \(x\) 为长度为 \(2\) 或更大的字符串。令 \(m=|x|\)。此外，令 \(y=x [1...m − 1]\)。如果 \(x\) 不是一个好的字符串，并且 \(per(x)\not=1\)，则 \(y\) 是一个好的字符串。

假设 \(y\) 不是一个好的字符串。令 \(p=per(x),q=per(y)\)。根据引理 \(3\) 和之前的假设，\(p\) 是 \(m\) 的约数，\(q\) 是 \(|y|=m-1\) 的约数。因为 \(m\) 与 \(m-1\) 互质，因此 \(p\) 与 \(q\) 也互质，即 \(\gcd(p,q)=1\)，此外，\(p\le m/2,q\le(m-1)/2\)，其中 \(p\) 也是 \(y\) 的周期，因此，根据定理 \(2\)，\(\gcd(p,q)=1\) 是 \(y\) 的周期，因此从 \(x[0]=x[p]\) 开始，\(x\) 的最后 \(m-1\) 个字符全部变为与 \(x[0]\) 相同的字符，此时 \(per(x)=1\)，这与前提矛盾，故 \(y\) 是一个好的字符串。

定理 5

对于一个字符串 \(w\)，假设 \(w\) 不是一个好的字符串，并且 \(per(w)\not=1\)。 此时，\(w\)的最佳表达为 \(2\)。

长度为 \(1\) 的字符串显然是一个好的字符串。 此外，根据引理 \(4\)，\(w[1...|w|−1]\) 是一个好的字符串，因此序列\((w [0],w[1...|w|-1])\) 是 \(w\) 是最佳表达之一。 显然，\(w\) 没有1或更小的最佳表达。则 \(w\) 的最佳表达为2。