【loj2552】【CTSC2018】假面

题目

有\(n\)个敌方单位，初始生命值分别为\(m_1,\cdots,m_n\)　；

假面可以释放\(Q\)个技能：

$op = 0 \ , \ id , u , v $ 表示对\(id\)号敌人有\(\frac{u}{v}\)的概率造成\(1\)点伤害；

$op = 1 \ , \ k \ , \ a_1,\cdots a_k $ 　表示在这些位置中生命值为正的位置里随机选择一个位置释放结界；

你需要对每个\(op=1\)，输出\(a_1,\cdots, \ a_k\)中结界的期望(\(op=1\)操作最多\(C\)次)；

$n \le 200 \ , \ Q \le 200000 \ , \ C \le 1000 ,m_i \le 100 $ ;

题解

• Part 1

• 设\(f_{i,j}\)表示\(i\)受到的伤害为\(j\)的概率，设\(x=\frac{u}{v}\)，则\(f_{i,j} = x \times f_{i,j-1} + (1-x) \times f_{i,j}\)

• \(p_i\)表示\(i\)号敌人存活的概率，$p_i \ = \ \sum_{j=0}^{m_i-1} f_{i,j} $

• 剩余生命的期望\(q_i = \sum_{j=0}^{m_i-1}f_{i,j} \times (m_i-j)\)

• **Part 2 **

• 把所有\(a_i\)拎出来讨论，设存活概率为\(p_i\) , \(g_{i,j}\)表示不算第\(i\)个敌人，存活的个数为\(j\)的概率，\(G_j\)表示所有人都算上存活个数为\(j\)的概率，一个人对于\(G\)的贡献是：

  $G_{j} = p_i \times G_{j-1} \ + \ (1-p_i) \times G_{j} $

• 这个式子是可逆的，即：

  \[\begin{cases}
  g_{i,j} &= \frac{G_j - p_i \times g_{i,j-1}}{1-p_i} & p_i != 1 \\
  g_{i,j} &= G_{j+1} & p_i==1
  \end{cases}
  \]

• 时间复杂度:\(O(QM\ + \ nMC)\)

  #include<bits/stdc++.h>
  #define vec vector<int>
  #define pb push_back
  #define mod 998244353
  #define ll long long
  using namespace std;
  const int N=810;
  int n,m,a[N],b[N],f[N][N],tot,ny[N],p[N],g[N],t[N];
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  int pw(int x,int y){
  	int re=1;
  	if(y<0)y+=mod-1;
  	while(y){
  		if(y&1)re=(ll)re*x%mod;
  		y>>=1;x=(ll)x*x%mod;
  	}
  	return re;
  }
  void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
  void solve(){
  	for(int i=1;i<=tot;++i)g[i]=0;g[0]=1;
  	for(int i=1;i<=tot;++i){
  		int x=b[i],y=(mod+1-x)%mod;
  		for(int j=tot;~j;--j){
  			g[j]=(ll)g[j]*y%mod;
  			if(j)inc(g[j],(ll)g[j-1]*x%mod);
  		}
  	}
  	for(int j=0;j<=tot;++j)t[j]=g[j];
  	for(int i=1;i<=tot;++i){
  		int re=0,x=b[i],y=pw((mod+1-x)%mod,mod-2);
  		if(x==1){for(int j=0;j<tot;++j)g[j]=g[j+1];g[tot]=0;}
  		else{
  			g[0]=(ll)g[0]*y%mod;
  			for(int j=1;j<=tot;++j)g[j]=(g[j]-(ll)g[j-1]*x%mod+mod)%mod*y%mod;
  		}
  		for(int j=0;j<=tot;++j){
  			inc(re,(ll)ny[j+1]*b[i]%mod*g[j]%mod);
  			g[j]=t[j];
  		}
  		printf("%d ",re);
  	}
  	puts("");
  }
  int main(){
  //	freopen("faceless.in","r",stdin);
  //	freopen("faceless.out","w",stdout);
  	n=rd();
  	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=rd(),f[i][0]=p[i]=1;
  	ny[1]=1;for(int i=2;i<=n<<2;++i)ny[i]=1ll*(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;
  	m=rd();
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		int op,id,x,y;
  		op=rd();
  		if(!op){
  			id=rd();x=rd();y=rd();
  			x=(ll)x*pw(y,mod-2)%mod;
  			y=(mod+1-x)%mod;p[id]=0;
  			for(int j=a[id]-1;~j;--j){
  				f[id][j]=(ll)f[id][j]*y%mod;
  				if(j)inc(f[id][j],(ll)f[id][j-1]*x%mod);
  				inc(p[id],f[id][j]);
  			}
  		}else {
  			tot=rd();
  			for(int j=1;j<=tot;++j)b[j]=p[rd()];
  			solve();
  		}
  	}
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		int x=0;
  		for(int j=0;j<a[i];++j)inc(x,(ll)(a[i]-j)*f[i][j]%mod);
  		printf("%d ",x);
  	}
  	return 0;
  }