[CF1016G]Appropriate Team

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description

给你一个数组\(\{a_i\}\)以及\(X,Y\)，问你有多少对\((i,j)\)满足存在一个\(v\in \mathbb{N}^+\)使得 \(\gcd(a_i,v)=X,\mbox{lcm}(a_j,v)=Y\)。\(i,j\)交换顺序被视为不同的数对，\(i,j\)可以相等。

\(n\le2\times10^5,a_i,X,Y\le10^{18}\)

sol

首先一定要有\(X|Y\)，不然肯定无解。

假设\(Y=P_1^{mx_1}P_2^{mx_2}...P_k^{mx_k},X=P_1^{mn_1}P_2^{mn_2}...P_k^{mn_k}\)。

（\(mn_i\le mx_i\)，\(mn_i\)可以为\(0\)）

考虑如果\(\gcd(a_i,v)=X\)，那么首先有\(X|a_i\)，然后可以把\(a_i\)分解成\(a_i=P_1^{c_1}P_2^{c_2}...P_k^{c_k}\)。如果有某个\(c_i>mn_i\)，那么\(v\)中\(P_i\)的次数就一定要是\(mn_i\)（不然\(\gcd\)中\(P_i\)的次数就大于\(mn_i\)了），否则可以任意。

我们状压记录对于每个\(a_i\)，与它可以满足条件的\(v\)对于\(i\in[1,k]\)的\(P_i\)的次数是否一定要是\(mn_i\)。考虑到\(k\le15\)，所以状态量也只有\(2^{15}\)。

然后我们考虑一个\(j\)可以和哪些\(i\)匹配。同理对于\(\mbox{lcm}(a_j,v)=Y\)，我们也可以用一个\(2^{15}\)的状态表示\(P_i\)的次数是否一定要取\(mx_i\)。

剩下是工作就只有一个高维前缀和了。注意特判\(mn_i=mx_i\)的情况。

至于质因数分解。原题题解中有一种很神奇的方法。。。然而直接上\(\mbox{Pollard_Rho}\)不好吗。。。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<ctime>
using namespace std;
#define ll long long
ll gi(){
	ll x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 2e5+5;
const int M = 15;
int n,tot,all,mx[M],mn[M],c[1<<M];
ll G,L,a[N],P[M*5],ans;
ll mul(ll x,ll y,ll mod){
	x%=mod;y%=mod;ll res=0;
	while (y){
		if (y&1) {res+=x;if (res>=mod) res-=mod;}
		x+=x;if (x>=mod) x-=mod;y>>=1;
	}
	return res;
}
ll fastpow(ll x,ll y,ll mod){
	ll res=1;
	while (y){
		if (y&1) res=mul(res,x,mod);
		x=mul(x,x,mod);y>>=1;
	}
	return res;
}
ll f[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
bool MR(ll p){
	for (int i=0;i<10;++i){
		if (p<=f[i]) break;
		if (fastpow(f[i],p-1,p)!=1) return false;
		ll pp=p-1;
		while (~pp&1){
			pp>>=1;ll y=fastpow(f[i],pp,p);
			if (mul(y,y,p)==1&&y!=1&&y!=p-1) return false;
		}
	}
	return true;
}
ll PR(ll n,ll c){
	ll i=0,k=2,x,y;x=y=1+rand()%(n-1);
	while (1){
		x=(mul(x,x,n)+c)%n;
		ll d=__gcd((y-x+n)%n,n);
		if (d!=1&&d!=n) return d;
		if (x==y) return n;
		if (++i==k) y=x,k<<=1;
	}
}
void fact(ll n,ll c){
	if (n==1) return;
	if (MR(n)) {P[tot++]=n;return;}
	ll p=n;while (p==n) p=PR(n,c--);
	fact(p,233);fact(n/p,233);
}
int main(){
	srand(19260817);n=gi();G=gi();L=gi();
	for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=gi();
	if (L%G) return puts("0"),0;
	fact(L,233);sort(P,P+tot);tot=unique(P,P+tot)-P;
	for (int i=0;i<tot;++i){
		ll x=G;while (x%P[i]==0) ++mn[i],x/=P[i];
		x=L;while (x%P[i]==0) ++mx[i],x/=P[i];
	}
	all=(1<<tot)-1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (a[i]%G==0){
			int zt=0;
			for (int j=0;j<tot;++j){
				ll x=a[i];int d=0;
				while (x%P[j]==0) ++d,x/=P[j];
				if (d>mn[j]) zt|=1<<j;
			}
			++c[zt];
		}
	for (int j=0;j<tot;++j)
		for (int i=0;i<=all;++i)
			if (i&(1<<j)) c[i]+=c[i^(1<<j)];// sum of subset
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (L%a[i]==0){
			int zt=0;
			for (int j=0;j<tot;++j){
				ll x=a[i];int d=0;
				while (x%P[j]==0) ++d,x/=P[j];
				if (d==mx[j]||mx[j]==mn[j]) zt|=1<<j;
			}
			ans+=c[zt];
		}
	printf("%I64d\n",ans);return 0;
}