【BZOJ2138】stone（线段树，Hall定理）

【BZOJ2138】stone（线段树，Hall定理）

题面

BZOJ

题解

考虑一个暴力。

我们对于每堆石子和每个询问，显然是匹配的操作。

所以可以把石子拆成\(a_i\)个，询问点拆成\(K_i\)个，这样就是每次进行一次二分图的匹配。

当然可以用网络流+线段树优化连边来做，但是这样复杂度太高。

还是回到二分图的匹配问题，我们现在要验证的就是是否存在对于当前询问点的完美匹配。

关于完美匹配，有\(Hall\)定理，如果存在完美匹配，假设左侧的点有\(|X|\)个，那么这些点连向右边的点的点集的并\(Y\)，满足\(|X|\le |Y|\)

因为询问点拆开后，每个点的连向右边的点集都是一样的，所以相当于就是\(K_i\le|Y|\)

只提取出所有有用的石子，按顺序编号。设\(s_i\)表示前\(i\)堆石子的个数和。

如果存在完美匹配，那么在任意时刻，所有存在于区间\([L,R]\)之内的询问的石子个数的总和\(T[L,R]\)一定小于区间\([L,R]\)之内的石子的总和。

也就是\(s_R-s_{L-1}\ge T[L,R]\)，发现题目中的性质，任何询问不存在包含关系。

那么我们假设\(TL_i\)表示左端点在\([1,i]\)中的询问的总和，\(TR_i\)表示右端点在\([1,i]\)中的询问的总和。

那么因为\(T[L,R]=TR_R-TL_{L-1}\)，所以我们也可以很容易的表示出\(T\)来。

所以，现在的不等式表达为\(s[R]-s[L-1]\ge TR[R]-TL[L-1]\)

所以\(s[R]-TR[R]\ge s[L-1]-TL[L-1]\)

设\(f[i]=s[i]-TR[i],g[i]=s[i]-TL[i]\)，所以是\(f[R]\ge g[L-1]\)

我们发现，如果从\([L,R]\)区间中拿走若干石头，在不等式中变化的只有\(TR[R]\)

也就是只有\(f[i]\)会减小。所以我们能够拿走的数量为\(min(K[i],f[R]-g[L-1])\)

对于当前询问区间\([L,R]\)，会对于所有的\(x\in [1,L],y\in [R,n],[x,y]\)产生影响

也就是任何包含当前区间的区间也需要满足\(Hall\)定理，在本题中也就是\(f[y]\ge g[x]\)

那么当前步的答案就是所有的\(min(K[i],f[y]-g[x])\)，那么取后缀\(f\)最小值，前缀\(g\)最大值即可。

每次拿线段树区间更新一下即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 40040
#define lson (now<<1)
#define rson (now<<1|1)
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int n,m,a[MAX],K[MAX],s[MAX];
struct SegMentTree_Max
{
	int t[MAX<<2],tag[MAX<<2];
	void puttag(int now,int w){t[now]+=w;tag[now]+=w;}
	void pushdown(int now,int l,int r){puttag(lson,tag[now]);puttag(rson,tag[now]);tag[now]=0;}
	void Build(int now,int l,int r)
		{
			if(l==r){t[now]=s[l];return;}
			int mid=(l+r)>>1;
			Build(lson,l,mid);Build(rson,mid+1,r);
			t[now]=max(t[lson],t[rson]);
		}
	void Modify(int now,int l,int r,int L,int R,int w)
		{
			if(L<=l&&r<=R){puttag(now,w);return;}
			int mid=(l+r)>>1;pushdown(now,l,r);
			if(L<=mid)Modify(lson,l,mid,L,R,w);
			if(R>mid)Modify(rson,mid+1,r,L,R,w);
			t[now]=max(t[lson],t[rson]);
		}
	int Query(int now,int l,int r,int L,int R)
		{
			if(L>R)return 0;if(L<=l&&r<=R)return t[now];
			int mid=(l+r)>>1,ret=0;pushdown(now,l,r);
			if(L<=mid)ret=max(ret,Query(lson,l,mid,L,R));
			if(R>mid)ret=max(ret,Query(rson,mid+1,r,L,R));
			return ret;
		}
}G;
struct SegMentTree_Min
{
	int t[MAX<<2],tag[MAX<<2];
	void puttag(int now,int w){t[now]+=w;tag[now]+=w;}
	void pushdown(int now,int l,int r){puttag(lson,tag[now]);puttag(rson,tag[now]);tag[now]=0;}
	void Build(int now,int l,int r)
		{
			if(l==r){t[now]=s[l];return;}
			int mid=(l+r)>>1;
			Build(lson,l,mid);Build(rson,mid+1,r);
			t[now]=min(t[lson],t[rson]);
		}
	void Modify(int now,int l,int r,int L,int R,int w)
		{
			if(L<=l&&r<=R){puttag(now,w);return;}
			int mid=(l+r)>>1;pushdown(now,l,r);
			if(L<=mid)Modify(lson,l,mid,L,R,w);
			if(R>mid)Modify(rson,mid+1,r,L,R,w);
			t[now]=min(t[lson],t[rson]);
		}
	int Query(int now,int l,int r,int L,int R)
		{
			if(L>R)return 0;if(L<=l&&r<=R)return t[now];
			int mid=(l+r)>>1,ret=1e9;pushdown(now,l,r);
			if(L<=mid)ret=min(ret,Query(lson,l,mid,L,R));
			if(R>mid)ret=min(ret,Query(rson,mid+1,r,L,R));
			return ret;
		}
}F;
int main()
{
	freopen("stone.in","r",stdin);
	freopen("stone.out","w",stdout);
	n=read();int X=read(),Y=read(),Z=read(),P=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=a[i]=(1ll*(i-X)*(i-X)%P+1ll*(i-Y)*(i-Y)%P+1ll*(i-Z)*(i-Z)%P)%P;
	for(int i=1;i<=n;++i)s[i]+=s[i-1];
	m=read();K[1]=read(),K[2]=read(),X=read(),Y=read(),Z=read(),P=read();
	for(int i=3;i<=m;++i)K[i]=(1ll*K[i-1]*X%P+1ll*K[i-2]*Y%P+Z)%P;
	if(!m)return 0;G.Build(1,1,n);F.Build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int l=read(),r=read();
		K[i]=min(K[i],F.Query(1,1,n,r,n)-G.Query(1,1,n,1,l-1));
		F.Modify(1,1,n,r,n,-K[i]);G.Modify(1,1,n,l,n,-K[i]);
		printf("%d\n",K[i]);
	}
	return 0;
}