【agc012E】Camel and Oases

Description

　　有一排点，两点间有一定距离，初始的时候有一个行走值$v$，如果说两点间距离不超过$v$，那么可以在这两点间自由行走，如果当前$v>0$那么可以选择突然出现在任意一点，但是这样做之后$v$会减半（下取整），问每个位置出发能否到达所有的位置至少一次

Solution

　　额其实感觉关键还是模型的转化

　　其实我们可以比较形象地将每个$v$（就是不停除以$2$直到$0$，中途得到的那堆$v$），看成“一层”，具体举个例子的话就是：当$v=4$的时候，第一层为$v=4$，第二层为$v=2$，第三层为$v=1$，第四层为$v=0$，这样

　　然后每次突然出现其实就相当于往上走了一层，而每层中，有一些区间是可以在区间内随便走的，我们将这些区间看成若干条线段，那么现在的问题就变成了，每层选一条线段，问是否能够覆盖整个区间

　　想不到吧然后因为层数上限是$19$所以。。这是一道状压dp的题目==

　　所以首先，我们先将每一层中的线段处理出来，将第$i$层的线段存在$seg[i]$数组里面，只用存右端点即可，左端点可以由前一条线段的右端点$+1$得到

　　考虑一下大概要用什么样的方式统计答案，我们可以考虑枚举第一层的每条线段$(l_i,r_i)$，如果说存在一种方案使得从$1$开始覆盖到一个$>=l_i-1$的位置，从$n$开始覆盖到一个$<=r_i+1$的位置，那么这段线段中的每一个点都是$Possible$的，否则就是$Impossible$

　　那么所以，我们考虑维护两个数组$tol$和$tor$，其中$tor[i]$表示线段选择状态（如果这层选了线段那么对应的二进制位为$1$否则为$0$）为$i$的情况下，从$1$开始往右最远能覆盖到的位置，$tol[i]$表示从$n$开始往左最远能覆盖到的位置，注意，因为最后统计答案的时候，第一层的线段是要枚举的，所以我们在计算$tor$和$tol$的枚举状态的时候，不能包含第一层

　　接下来定义两个过程：$expandReft(which,x)$表示在第$which$层的线段中，严格大于$x$的第一个右端点，$expandLight(which,x)$表示在第$which$层的线段中，严格小于$x$的最靠近$n$的右端点

　　那么我们可以得到转移式子：

\[\begin{aligned}
tor[st|St(i)]&=max(tor[st|St(i)],expandRight(i,tor[st]))\\
tol[st|St(i)]&=min(tol[st|St(i)],expandLeft(i,tol[st]-1))\\
\end{aligned}
\]

　　至于为什么要用$tol[st]-1$的话。。是因为如果直接找$tol[st]$的话，我们可能找到$tol[st]$，这就说明有一段以$tol[st]-1$为右端点的区间以及一段以$tol[st]$为左端点的区间，然而这个时候我们应该找前者而不是后者会出些小问题==（不过也可能只是实现方式的问题。。具体都是看二分查找要怎么写吧都是一些实现上的细节问题qwq）

　　那么最后一个小问题就是，如果说第一层有很多条线段的话那就很凉凉，然而实际上，我们发现如果说第一层的线段条数$>logv+1$的话。。就根本不可能覆盖完了（层数不够），所以我们可以在计算之前先判一下这种全部都是$Impossible$的情况

　　那所以我们的总复杂度就是$O(nlogv+vlognlogv)$了

　　代码大概长这个样子

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

using namespace std;

const int N=2*(1e5)+10,ST=1<<20,TOP=20,inf=2e9;

int seg[TOP+1][N],d[N],tor[ST],tol[ST],a[N];

int n,m,v,lg,all;

bool in(int st,int x){return st>>x-1&1;}

int St(int x){return 1<<x-1;}

void get_seg(){

	for (int i=1;i<=lg;++i){

		seg[i][0]=0;

		for (int j=1;j<=n;++j){

			if (j==1||d[j-1]>v>>i-1) ++seg[i][0];

			seg[i][seg[i][0]]=j;

		}

	}

}

bool firstcheck(){

	if (seg[1][0]<=lg) return true;

	for (int i=1;i<=n;++i) printf("Impossible\n");

	return false;

}

int expand_right(int which,int x){

	int l=1,r=seg[which][0],mid,ret=r;

	while (l<=r){

		mid=l+r>>1;

		if (seg[which][mid]>x) ret=mid,r=mid-1;

		else l=mid+1;

	}

	return seg[which][ret];

}

int expand_left(int which,int x){

	int l=1,r=seg[which][0],mid,ret=l;

	while (l<=r){

		mid=l+r>>1;

		if (seg[which][mid]<x) ret=mid,l=mid+1;

		else r=mid-1;

	}

	return seg[which][ret]+1;

}

void dp(){

	all=1<<lg;

	for (int st=0;st<all;++st) tor[st]=0,tol[st]=n+1;

	for (int st=0;st<all;st+=2){

		for (int i=2;i<=lg;++i){

			if (in(st,i)) continue;

			tor[st|St(i)]=max(tor[st|St(i)],expand_right(i,tor[st]));

			tol[st|St(i)]=min(tol[st|St(i)],expand_left(i,tol[st]-1));

		}

	}

}

void get_ans(){

	int L,R;

	bool ok;

	for (int i=1;i<=seg[1][0];++i){

		L=i==1?1:seg[1][i-1]+1; R=seg[1][i];

		ok=false;

		for (int st=0;st<all&&!ok;st+=2)

			if (L-1<=tor[st]&&tol[(all-1)-st-1]<=R+1) ok=true;

		for (int j=L;j<=R;++j) printf(ok?"Possible\n":"Impossible\n");

	}

}

int main(){

#ifndef ONLINE_JUDGE

	freopen("a.in","r",stdin);

#endif

	scanf("%d%d",&n,&v);

	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);

	d[n]=inf;

	for (int i=1;i<n;++i) d[i]=a[i+1]-a[i];

	lg=0;

	while ((v>>lg)>0) ++lg;

	++lg;

	get_seg();

	if (!firstcheck()) return 0;

	dp();

	get_ans();

}