洛谷 P2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

1. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

2. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式：

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1：
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5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出样例#1：
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6

输入样例#2：
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7 7 3 3
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2
2 9 5 5 6 1 7
7 9 3 6 1 7 8
1 9 1 4 7 8 8
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2：
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16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

题解

理解题意，就是选出r行c列，将它们共有的元素重新组成一个矩阵，求出所谓的分值

我们先考虑暴力的做法：

枚举n中r行，m中c行，再更新答案，复杂度C(n,n/2) * C(m,m / 2) 铁定T

枚举两个不行，枚举一个还是可以承受的，我们枚举出n中的r行，再对m中的c列进行一次动归

我们设f[i][j]表示选到第i列【且第i列被选】已选了j列的最小分值

很明显我们就可以枚举i之前的k，f[i][j] = max{f[k][j - 1] + h[i] + d[i]}   【h[i]表示第i列上下之间的分值,d[i]表示第i列与第k列之间产生的分值，枚举算就好了】

边界的话首先j不能小于i，对于所有j == i，可以直接算出，就是全部选择，作为左边界就可以了

这道题主要呈现出一种搜索与dp相结合的思想

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
#define abs(x) ((x) > 0 ? (x) : -(x))
using namespace std;
const int maxn = 20,maxm = 100005,INF = 1000000000;

inline int read(){
	int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57) {out = out * 10 + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}

int s[maxn][maxn],n,m,r,c,ans = INF;
int R[maxn],f[maxn][maxn],h[maxn];

void init(){
	n = read();
	m = read();
	r = read();
	c = read();
	REP(i,n) REP(j,m) s[i][j] = read();
}

void cal(){
	fill(f[0],f[0] + maxn * maxn,INF);
	for(int j = 1; j <= m; j++){
		h[j] = 0;
		for (int i = 1; i <= r; i++){
			if (i != 1) h[j] += abs(s[R[i]][j] - s[R[i - 1]][j]);
		}
		f[j][1] = h[j];
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		for (int j = 2; j <= i && j <= c; j++){
			for (int k = j - 1; k < i; k++){
				int sum = 0;
				REP(l,r) sum += abs(s[R[l]][i] - s[R[l]][k]);
				f[i][j] = min(f[i][j],f[k][j - 1] + h[i] + sum);
			}
		}
	for (int i = c; i <= m; i++)
		if (f[i][c] < ans){
			ans = f[i][c];
		}
}

void dfs(int u,int cnt){
	if (cnt > r){
		cal();
		return;
	}
	int End = n - r + cnt;
	fo(i,u + 1,End){
		R[cnt] = i;
		dfs(i,cnt + 1);
	}
}

int main()
{
	init();
	dfs(0,1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}