Two Sided Cards 题解

前言

五一网课的例题，但是网上没有详细的题解（真的连题解都找不到啊），所以来写一篇，就当攒 RP 了。题目可以在这里提交。原题是 TopCoder - 10947，但是有了账号也交不了？

题目简述

有 $n$ 张卡片，正面和反面分别组成了 $1 \sim n$ 的排列。现在你需要将这 $n$ 张卡片排成一排。卡片可以以任何顺序放置，每张卡片可以显示正面或背面，排成的序列不一定是一个排列。两种方案至少存在一个位置的数字不同，则这两种方案被认为是不同的。求排成的不同的序列的方案数，答案对 $10^9+7$ 取模。

题目分析

套路地，把卡牌当做边，正面连向反面，建图。发现形成了若干个环。环之间互不影响，所以我们只要求得一个环的方案数 $W_i$ 即可。进而发现设环的长度为 $L_i$，则 $W_i$ 只跟 $L_i$ 有关，即 $W_i = f(L_i)$。

考虑计算 $f(L)$。发现方案数和重合的数字个数有关，而每个数字要么出现一次，要么出现两次。故枚举有 $i$ 个数字出现了两次，求出方案数，总方案数即为所有情况之积。从 $L$ 个位置中选出 $2i$ 个位置是重复的，方案数是 $C_L^{2i}$，若 $i \neq 0$，则还要乘 $2$，因为将方案取反可以得到新的方案。接下来，不断从剩下可选的位置中选出重复的那 $2$ 个位置，这 $2$ 个位置没有区分。剩下的数随随便排列，方案数是 $(L-2i)!$。这里方案数是 $\prod \limits _ {j = 1} ^ {i} C _ {L - 2(j-1)} ^ 2$，化简得 $\cfrac{n!}{2^i \times (L-2i)!}$。综上：

\[
f(L) = \sum \limits _ {i = 0} ^ {\left \lfloor \cfrac{L}{2} \right \rfloor} C_L^{2i} \times (2 - [i = 0]) \times \cfrac{L!}{2 ^ i}

故总答案：

\[
ans = \Large \prod \limits _ {i = 1} ^ {cnt} C_{n - \sum \limits _ {j = 1} ^ {i - 1} L_j}^{L_i} \times f(L_i)

总体时间复杂度是 $\Theta(n)$ 的。

代码

//#pragma GCC optimize(3)

//#pragma GCC optimize("Ofast", "inline", "-ffast-math")

//#pragma GCC target("avx", "sse2", "sse3", "sse4", "mmx")

#include <iostream>

#include <cstdio>

#define debug(a) cerr << "Line: " << __LINE__ << " " << #a << endl

#define print(a) cerr << #a << "=" << (a) << endl

#define file(a) freopen(#a".in", "r", stdin), freopen(#a".out", "w", stdout)

#define main Main(); signed main(){ return ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), Main(); } signed Main

using namespace std;

const int mod = 1000000007;

const int inv2 = 500000004;

inline int add(int a, int b){

	return a + b >= mod ? a + b - mod : a + b;

}

inline int mul(int a, int b){

	return 1ll * a * b % mod;

}

const int N = 100010;

int n, a[N], b[N], trans[N], f[N];

int frac[N], Inv[N], finv[N];

bool vis[N];

inline int C(int n, int m){

	return mul(frac[n], mul(finv[m], finv[n - m]));

}

inline int calc(int n){

	if (f[n]) return f[n];

	int res = 0;

	for (int i = 0, mu = 1; i <= n / 2; mu = mul(mu, inv2), ++i){

		int z = C(n, i << 1);

		if (i > 0) z = mul(z, 2);

		z = mul(z, mul(frac[n], mu));

		res = add(res, z);

	}

	return f[n] = res;

}

signed main(){

	scanf("%d", &n);

	for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);

	for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &b[i]), trans[a[i] - 1] = b[i] - 1;

	frac[0] = 1, finv[0] = 1;

	for (int i = 1; i <= n; ++i) frac[i] = mul(frac[i - 1], i), Inv[i] = i == 1 ? 1 : mod - mul(mod / i, Inv[mod % i]), finv[i] = mul(finv[i - 1], Inv[i]);

	int res = 1;

	for (int i = 0, j, l = 0, r = n; i < n; ++i) if (!vis[i]){

		for (j = i, l = 0; !vis[j]; ++l, vis[j] = true, j = trans[j]);

		res = mul(mul(res, C(r, l)), calc(l)), r -= l;

	}

	printf("%d\n", res);

	return 0;

}