Math Record

T1.P3327

知识点：莫比乌斯反演，数论分块

我们知道 \(d(ij) = \sum_{x | i}\sum_{y | j}[\gcd(x,y) == 1]\)。

所以我们就要求 \(\sum^n_{i = 1}\sum^m_{j = 1}\sum_{x | i}\sum_{y | j}[\gcd(x,y) == 1]\)。

即为 \(\sum^n_{i = 1}\sum^m_{j = 1}\lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor \times \lfloor \dfrac{m}{j} \rfloor [\gcd(i,j) == 1]\)。

然后我们开始反演。

\[f(x) = \sum^n_{i = 1}\sum^m_{j = 1}\lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor \times \lfloor \dfrac{m}{j} \rfloor [\gcd(i,j) == x]
\]

\[g(x) = \sum_{x|d} f(d) = \sum^n_{i = 1}\sum^m_{j = 1}\lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor \times \lfloor \dfrac{m}{j} \rfloor [x | \gcd(i,j)]
\]

然后我们将 \(x\) 提出可得 \(g(x) = \sum^{\frac{n}{x}}_{i = 1}\sum^{\frac{m}{x}}_{j = 1}\lfloor \dfrac{n}{i \times x} \rfloor \times \lfloor \dfrac{m}{j \times x} \rfloor\)。

然后我们就考虑如何得到 \(f(1)\)。

由于莫反我们知道 \(f(x) = \sum_{i = 1}^n \mu(i) \times g(i)\)。

然后我们来考虑怎么计算 \(g(x)\)。我们可以先计算 \(s(i) = \sum^{x}_{i = 1} \lfloor \dfrac{x}{i} \rfloor\)。

然后就可以 \(O(1)\) 求出答案了。总复杂度为 \(O(t \sqrt n)\)。

T2.P5518 [MtOI2019] 幽灵乐团 / 莫比乌斯反演基础练习题

非常 nb 的题目，由于太难打 latex 了，我就直接写了下来。

有几张横着的，凑合着看吧