NC51178 没有上司的舞会

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题目

题目描述

Ural大学有N名职员，编号为1~N。

他们的关系就像一棵以校长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。

每个职员有一个快乐指数，用整数 \(Hi\) 给出，其中 \(1\leq i\leq N\) 。

现在要召开一场周年庆宴会，不过，没有职员愿意和直接上司一起参会。

在满足这个条件的前提下，主办方希望邀请一部分职员参会，使得所有参会职员的快乐指数总和最大，求这个最大值。

输入描述

第一行一个整数N。

接下来N行，第 i 行表示 i 号职员的快乐指数Hi。

接下来N-1行，每行输入一对整数L, K,表示K是L的直接上司。

最后一行输入0,0。

输出描述

输出最大的快乐指数。

示例1

输入

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5
0 0

输出

5

备注

\(1\leq N\leq 6000\)

\(−128\leq H_i\leq 127\)

题解

知识点：树形dp。

题目要求选出独立的点，即不与别的点相邻，使得权值和最大（最大独立集）。

以 \(1\) 为根，设 \(dp[u][0/1]\) 表示以 \(u\) 为根节点的子树不选或选后的最大快乐度。转移方程为：

\[\left \{
\begin{array}{l}
dp[u][1] = \sum dp[v_i][1]\\
dp[u][0] = \sum \max (dp[v_i][0],dp[v_i][1])
\end{array}
\right .
\]

因为 \(u\) 不选的时候，子节点选不选都可以；选的时候，子节点只能不选。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int H[6007], dp[6007][10];
vector<int> g[5007];

void dfs(int u, int fa) {
    for (auto v : g[u]) {
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        dp[u][1] += dp[v][0];
        dp[u][0] += max(dp[v][0], dp[v][1]);
    }
    dp[u][1] += H[u];
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i++) cin >> H[i];
    for (int i = 1;i <= n - 1;i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    cout << max(dp[1][1], dp[1][0]) << '\n';
    return 0;
}