[ML] 深度学习的数学基础: 函数/参数优化/矩阵运算/向量化/卷积运算/张量运算

 

1. 函数与导数

　　函数是一种映射关系，将一个或多个自变量的取值映射为一个因变量的取值。

　　函数的导数表示函数在某一点处的变化率，即函数图像在该点的切线斜率。

　　导数可以用来求解函数的最值、优化问题、拟合曲线等。

　　常见的求导方法包括使用基本导数公式、链式法则、反函数法则、隐函数法则等。

　　导数具有一些重要性质，如导数的加法规则、乘法规则、链式法则和导数的定义域等。

2. 参数优化与梯度下降　　

　　参数优化是指在机器学习和深度学习中，通过调整模型的参数来最小化损失函数的过程。

　　梯度下降是一种常用的参数优化方法，它通过计算损失函数对每个参数的导数（即梯度），并以此调整参数的取值，使得损失函数逐渐减小，达到最优解。

　　

　　具体来说，梯度下降法包括以下步骤：先随机初始化模型的参数；然后计算损失函数对于每个参数的偏导数；接着按照一定的学习率（learning rate）和梯度的方向更新每个参数的取值；

　　重复以上步骤直至达到收敛条件，如损失函数变化很小或达到预设的迭代次数。

　　梯度下降法有多个变种，包括批量梯度下降、随机梯度下降、小批量梯度下降等。

　　它们的区别在于每次迭代时选择多少个样本来计算梯度。相比于其他参数优化方法，梯度下降法在实践中表现良好，被广泛应用于各种类型的模型训练中。

3. 矩阵运算

　　

　　矩阵运算是指对矩阵和向量进行的各种数学操作，包括加法、减法、乘法、转置、求逆等。

　　这些操作可以用来描述线性代数中的许多问题，矩阵分解、线性方程组求解、特征值分解等。

　　在机器学习和深度学习中，矩阵运算被广泛应用于神经网络的设计和训练过程中，例如矩阵乘法、卷积运算、池化运算等。

　　常见的矩阵运算包括：

• 矩阵加法：两个矩阵或向量的对应元素相加。
• 矩阵减法：两个矩阵或向量的对应元素相减。
• 矩阵乘法：两个矩阵相乘得到新的矩阵。
• 转置：将矩阵的行列交换得到新的矩阵。
• 逆矩阵：对于一个可逆矩阵A，存在它的逆矩阵A^-1，使得A与A^-1相乘得到单位矩阵I。

　　在实践中，高效地实现矩阵运算可能需要使用诸如 CUDA 等专门的硬件或软件库。

4. 向量化与矩阵运算

　　

　　向量化是指将标量、向量或矩阵的数学运算转换为向量或矩阵的运算，从而提高计算效率和减少代码复杂度。

　　向量化通常基于CPU、GPU或其他专用硬件，并利用并行计算和矢量处理等技术来加速计算。

　　矩阵运算是向量化的重要应用场景之一。

　　在机器学习和深度学习中，矩阵运算经常被用来实现神经网络的前向传播和反向传播过程，例如矩阵乘法、卷积运算、池化运算等。

　　这些运算可以通过矩阵之间的乘法、点积、逆矩阵、转置等方式进行，以便进行高效的向量化计算。

　　使用向量化的好处包括：

• 提高计算效率：向量化利用了硬件的并行能力，能够同时处理多个数据，从而提高计算速度。
• 降低代码复杂度：向量化计算能够将循环等复杂操作简化为一行或几行代码，使得程序易于编写和维护。
• 方便代码优化：向量化的代码结构更容易进行优化和调试，利于实现代码的高效性能和可移植性。

　　总之，向量化和矩阵运算是现代计算科学中的重要技术，对于高效实现各种机器学习和深度学习模型具有重要作用。

5. 向量化与卷积运算

　　向量化和卷积运算是深度学习中广泛应用的两种技术。

　　向量化指的是将复杂的数学运算转化为向量或矩阵之间的简单运算，从而提高计算效率。

　　在卷积运算中，输入的一组数据（如图像）被表示为一个三维张量，包括宽度、高度和通道数。

　　通过定义一个卷积核（也称为过滤器），我们可以将这个卷积核在输入的数据上进行滑动，计算每个位置上的卷积结果，并输出一个新的二维特征图。

　　

　　卷积运算本身具有大量重复计算的特点，使用向量化技术能够显著加速卷积运算。

　　例如，我们可以用矩阵乘法的形式来表示卷积运算，把卷积核展开成一个列向量，将输入的数据展开成一个行向量，然后通过矩阵乘法运算实现卷积。

　　这种方法被称为im2col操作，能够有效地利用CPU或GPU的并行计算能力，提高卷积运算的效率。

　　总之，向量化和卷积运算是深度学习中非常重要的技术，能够极大地提高模型训练和推理的效率。

 

6. 张量运算

 

　　张量运算是指对张量进行的各种数学操作，包括加法、乘法、矩阵乘法、转置、逆等。

　　这些操作可以用来描述物理学、工程学、计算机科学等领域中的许多问题，如流体力学、结构分析、机器学习、深度学习等。

　　在深度学习中，张量运算被广泛应用于神经网络的设计和训练过程中，例如卷积、池化、全连接等。

　　张量是一种具有多个轴（或称为维度）的数据结构，包括标量（0维张量）、向量（1维张量）、矩阵（2维张量）和高维张量等。

　　张量运算根据不同的轴进行数学运算，能够有效地处理大规模的数据集和复杂的模型结构。

　　常见的张量运算包括：

• 张量加法：两个张量的对应元素相加。
• 张量减法：两个张量的对应元素相减。
• 张量乘法：两个张量按照一定的规则相乘得到新的张量。
• 转置：将张量的某些轴交换得到新的张量。
• 逆张量：对于一个可逆张量T，存在它的逆张量T^-1，使得T与T^-1相乘得到单位张量I。

　　在实践中，高效地实现张量运算可能需要使用诸如 CUDA 等专门的硬件或软件库。

Ref：ChatAI Online

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