[LeetCode]题解（python）：004-Median of Two Sorted Arrays

题目来源：

https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/

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题意分析:

这道题目是输入两个已经排好序的数组（长度为m,n），将这两个数组整合成一个数组，输出新数组的中位数。要求时间复杂度是（log（m + n）。比如如果输入[1,2,3]，[3,4,5]。那么得到的新数组为[1,2,3,3,4,5]得到的中位数就是3.

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题目思路：

由于题目要求的时间复杂度是（log（m+n))，如果我们直接把两个数组整合一起，那么时间复杂度肯定超过（log（m+n））。所以整理肯定是不行的。那么还有什么方法吗？答案是肯定的。

首先我们要先了解中位数的概念，中位数就是有序数组的中间那个数。那么如果我们将比中位数小的数和比中位数大的数去掉同样的个数，中位数的值也不会变化（数组的个数为偶数的时候另外讨论，因为那时候中位数是中间两个数的平均值，所以中位数旁边两个数不能去掉）。

所以我们不妨试着将数组长度不断缩短。这里不妨提出一个引理。假设有两个有序数组a_m，b_n，他们整合后的有序数组为c_n+m。他们的中位数分别是a_m/2,b_n/2,c_(m+n)/2。如果a_m/2 < b_n/2,则 a_0…m/2 <= c_(m+n)/2 <= b_{n/2…n 。}

引理证明：

假设 a_m/2 > c_(m+n)/2 ，那么 b_n/2  > c_(m+n)/2，所以在数组a_m里有大于m/2个数大于c_(m+n)/2，在数组b_n里也有n/2个数大于c_(m+n)/2

也就是说在c_n+m里有（m+n）/2个数大于c_(m+n)/2，此时就c_(m+n)/2不再是数组c_n+m的中位数。

所以a_0…m/2 <= c_(m+n)/2。

同理可得c_(m+n)/2 <= b_n/2…n 。

根据上述引理，我们不妨设m>n，那么我们根据判断两个数组的中位数大小，每个数组每次减少n/2长度，直到n为1。如此，我们通过减少log（n）次可以得到答案。这种方法的时间复杂度是（log（min（m,n）））。

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代码（python）：

 class Solution(object):
     def getMedian(self,nums):
         size = len(nums)
         if size == 0:
             return [0,0]
         if size % 2 == 1:
             return [nums[size // 2],size // 2]
         return [(float(nums[size // 2 - 1] + nums[size // 2])) / 2,size // 2]

     def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
         """
         :type nums1: List[int]
         :type nums2: List[int]
         :rtype: float
         """
         size1 = len(nums1)
         size2 = len(nums2)
         if size1 < size2:
             return self.findMedianSortedArrays(nums2,nums1)
         m1 = self.getMedian(nums1)
         m2 = self.getMedian(nums2)
         if size2 == 0:
             return m1[0]
         if size2 == 1:
             if size1 == 1:
                 return (float(nums1[0] + nums2[0])) / 2
             if size1 % 2 == 0:
                 if nums2[0] < nums1[size1 //2 - 1]:
                     return nums1[size1 // 2 - 1]
                 if nums2[0] > nums1[size1 // 2 ]:
                     return nums1[size1 // 2]
                 else:
                     return nums2[0]
             else:
                 if nums2[0] < nums1[size1 // 2 - 1]:
                     return (float(nums1[size1 // 2 - 1] + nums1[size1 // 2])) / 2
                 if nums2[0] > nums1[size1 // 2 + 1]:
                     return (float(nums1[size1 // 2] + nums1[size1 // 2 + 1])) / 2
                 else:
                     return (float(nums2[0] + nums1[size1 // 2])) / 2
         if size2 % 2 == 0:
             if size1 % 2 == 0:
                 if nums2[size2 // 2 - 1] < nums1[size1 //2 - 1] and nums2[size2 // 2] > nums1[size1 // 2]:
                     return m1[0]
                 if nums1[size1 // 2 - 1] < nums2[size2 // 2 - 1] and nums1[size1 // 2] > nums2[size2 // 2]:
                     return m2[0]
         if m1[0] < m2[0]:
             return self.findMedianSortedArrays(nums1[m2[1]:],nums2[:size2 - m2[1]])
         if m1[0] > m2[0]:
             return self.findMedianSortedArrays(nums1[:size1 - m2[1]],nums2[m2[1]:])
         else:
             return m1[0]

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PS：当两个数组长度都是偶数的时候，由于中位数和中间两个数相关，如果直接删减有可能把中位数的数值发生改变，比如：[1,6],[4,5]，这种情况如果用上述算法，那么先得到[1],[4]最后得到2.5，然后最后答案应该是4.5，所以这种情况要另外讨论。

还有，用python3.0要注意语法的不同，因为判断系统是用2.7的算法。3.0的’/’默认是浮点数，而在‘2.7’如果原来是整型的时候是整除。

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