C-01背包问题

【声明】:非常感谢http://blog.sina.com.cn/s/blog_6dcd26b301013810.html，给我带来的帮助。

看这个图片表示的意思:

w[i]表示第i件物品的容积 ，p[i]第i件物品的价值。

c[i][j] 表示 第i件物品装入容积为j 的空间中的最高价值。 其中i是物品编号，j代表当前背包的容积。

非常重要的状态转移方程:

　　C[i][j] = max(C[i-1][j],C[i-1][j-w[i]]+p[i])

C[i-1][j]表示放第i-1件物品,背包容量为j的总价值。

C[i-1][j-w[i]]表示存放第i-1件物品,背包容量为  j-w[i] 的总价值；再加上当前第i件物品的价值

【也就是说在选择是不是要放一件物品时，就看看不放该物件的价值 与 放了该物件的总价值 哪个更大一点的问题。】

int knapsack(int m,int n)//总容量,物品数量
{
    int i,j,w[],p[];//每件物品的容量个价值
    for(i=;i<n+;i++)
    scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);

    for(i=;i<;i++)
        for(j=;j<;j++)
            c[i][j]=;

    for(i=;i<n+;i++)//数量
        for(j=;j<m+;j++)
        {
            if(w[i]<=j){//j表示当前容量，当前容量如果小于该件物品的容量，
                        //也就是该件物品放不进去背包
                 if(p[i]+c[i-][j-w[i]]>c[i-][j])
                     c[i][j]=p[i]+c[i-][j-w[i]];
                 else
                     c[i][j]=c[i-][j];
            }else

                 c[i][j]=c[i-][j];
         }
     return(c[n][m]);
}

01

由于使用一维数组解01背包会被多次用到，完全背包的一种优化实现方式也是使用一维数组，所以我们有必要理解这种方法。

如果只使用一维数组f[0…v]，我们要达到的效果是：

第i次循环结束后f[v]中所表示的就是使用二维数组时的f[i][v]，即前i个物体面对容量v时的最大价值。

我们知道f[v]是由两个状态得来的，f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]，使用一维数组时，当第i次循环之前时，f[v]实际上就是f[i-1][v]，那么怎么得到第二个子问题(f[i-1][v-c[i]])的值呢？事实上，如果在每次循环中我们以v=V…0的顺序推f[v]时，就能保证f[v-c[i]]存储的是f[i-1][v-c[i]]的状态。状态转移方程为：

v = V...0; f(v) = max{ f(v), f(v-c[i])+w[i] }

我们可以与二维数组的状态转移方程对比一下

f(i,v) = max{ f(i-1,v), f(i-1,v-c[i])+w[i] }

还是看上图:如果按照v=0-V的顺序的话，第一件物品存入包中和上图一样，当存入第二件物品的时候，v= 4时，价值为5。但是没有办法准确知道f[i-1][v-c[i]](即f[v-c[i])。【由于是一维数组，数据会被覆盖】

但是，如果按照v = V--0的顺序。存入第一件物品的时候，和上图是一样的，此时f[10] = ...=f[5] = 4,开始存放第二件物品的时候，v =V = 10；f(v) = max{ f(v), f(v-c[i])+w[i] }(即f[10] = max{f[10],f[10-c[2]+w[2]} = max{f[10],f[6]+w[2] = max{4,4+5} = 9);v = 9……以此类推就可以得出上图中的第二行。

 【再想不明白，自己按照上图执行一遍即可。】

程序代码:

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXN 100+10

int f[MAXN];
int w[MAXN],c[MAXN];

int main()
{
    int N,V;
    int i=,j;
    scanf("%d%d",&V,&N);
    for(i = ;i<N;i++)
    {
        scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);
    }
    memset(f,,sizeof(f));
    for(i = ;i<N;i++)
        for(j = V;j>=c[i];j--)
        {
           f[j] = f[j]>(f[j-c[i]]+w[i]) ? f[j]: f[j-c[i]]+w[i];
        }

    printf("max value si %d\n",f[V]);
    return ;
}

这样一来就全部解决了问题了………………^__^