Euclid gcd规则的证明

Euclid 规则：如果x和y都是正整数，而且x>=y，那么gcd(x,y)=gcd(x mod y, y)

假设x和y的gcd为a，那么必然有

x=a*n1

y=a*n2(gcd(n1,n2)=1)

那么我们求

x mod y

=>a*n1 mod a*n2

令x mod y=m,那么必然满足

x=n3*y+m

=>a*n1=n3*a*n2+m

=>m=a*(n1-n2*n3)

那么gcd(x mod y,y)就变成了gcd(a*(n1-n2*n3), a*n2),

如果gcd(n1-n2*n3,n2)不等于1，那么等式不成立

假设gcd(n1-n2*n3,n2)=k(k>1),

那么令

n1-n2*n3=n4*k

n2=n5*k

然后

n1=n2*n3+n4*k=n5*k*n3+n4*k=k(n3*n5+n4)

而n2=n5*k

于是gcd(n1,n2)>=k，于是与之前假设不成立，反证失效，证明完毕。