悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在,感恩生活

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Problem Description
急!灾区的食物依然短缺!
为了挽救灾区同胞的生命,心系灾区同胞的你准备自己采购一些粮食支援灾区,现在假设你一共有资金n元,而市场有m种大米,每种大米都是袋装产品,其价格不等,并且只能整袋购买。
请问:你用有限的资金最多能采购多少公斤粮食呢?

后记:
人生是一个充满了变数的生命过程,天灾、人祸、病痛是我们生命历程中不可预知的威胁。
月有阴晴圆缺,人有旦夕祸福,未来对于我们而言是一个未知数。那么,我们要做的就应该是珍惜现在,感恩生活——
感谢父母,他们给予我们生命,抚养我们成人;
感谢老师,他们授给我们知识,教我们做人
感谢朋友,他们让我们感受到世界的温暖;
感谢对手,他们令我们不断进取、努力。
同样,我们也要感谢痛苦与艰辛带给我们的财富~

 
Input
输入数据首先包含一个正整数C,表示有C组测试用例,每组测试用例的第一行是两个整数n和m(1<=n<=100, 1<=m<=100),分别表示经费的金额和大米的种类,然后是m行数据,每行包含3个数p,h和c(1<=p<=20,1<=h<=200,1<=c<=20),分别表示每袋的价格、每袋的重量以及对应种类大米的袋数。
 
Output
对于每组测试数据,请输出能够购买大米的最多重量,你可以假设经费买不光所有的大米,并且经费你可以不用完。每个实例的输出占一行。
 
Sample Input
1
8 2
2 100 4
4 100 2
 
Sample Output
400
题目大意:全汉语,不解释,标准多重背包问题
思路分析:作为背包问题初学者,这也是自己做的第一道多重背包的题目,借这道题目说一下自己对背包问题的理解吧。
首先,背包问题本质上来说属于动态规划,可以看作动态规划的一个分支,大概是因为背包问题比较经典,所以被当作
模板来讲,其分析过程与一般dp过程并没有什么区别,也需要确定阶段,状态,以及状态转移方程,首先是最简单的01
背包,所谓01背包,是对于物品来言的,一个物品只能选择放与不放,故称为01背包,在讲解是一般都是先按二维数组
来展开讲解,便于理解,f[i][j]表示前i个物品组成的体积为j的背包所获得的最大值,装态转移方程也很容易确定,根据
第i个物品放还是不放。然后再讲解用滚动数组来优化空间复杂度,对于滚动数组刚开始我是不理解的,后来想明白了,
i:1->n代表阶段,j:v->c[i]代表这一阶段的状态,至于内层循环为何要从v->c[i],这是由01背包的特殊性决定的,物品
不能重复放,当前阶段状态只能由上一阶段状态推出,如果内层循环变成c[i]->v,这样就会出现当前阶段状态由当前阶段
状态推出的情况,即一个物品被使用了多次,不符合01背包要求,理解之后模板就不在话下了,至于完全背包,与01背包的
不同点在于每一种物品都有无数件,如果直接转化为01背包问题,时间复杂度太大,很多题目是过不去的,如果有01背包关于
内层循环的思考,这里就很容易想到将内层循环的顺序换一下,就满足了一件物品可以被使用多次的要求,复杂度o(v*n).
而其他的问题,基本都是由这两种背包问题衍生而来(也可以说全都是由01背包衍生而来),比如本题的多重背包,与完全
背包类似,唯一的区别就是就是物品的数目不是无限的了,而是有一个确定的数目,对于每一个阶段,就是分成两类,
如果c[i]*num[i]>v说明这种物品数量是足量的,用完全背包来进行处理,如果不足量,则按照01背包来进行处理,但如果直接转换,
易TLE,所以这里需要一步优化,将num[i]进行划分,划分成1,2,4.......num[i]-2^k+1这些小背包,可以证明0-num[i]之间
num[i]+1个数字都可以由这些数字不重复组成,就转化成了若干背包的01背包问题。
代码:#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
const int maxn=100+5;
int c[maxn],w[maxn],num[maxn];
int dp[maxn];
int multi_pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(c[i]*num[i]>m)//转化为完全背包问题
        {
            for(int j=c[i];j<=m;j++)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);
        }
        else
        {
            int k=1;
            while(k<num[i])
            {
               for(int j=m;j>=k*c[i];j--)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*c[i]]+k*w[i]);
                num[i]-=k;
                k=k<<1;
            }
            for(int j=m;j>=num[i]*c[i];j--)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-num[i]*c[i]]+num[i]*w[i]);
        }
    }
    return dp[m];
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int n,m;
        cin>>m>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d",&c[i],&w[i],&num[i]);
        cout<<multi_pack(c,w,num,n,m)<<endl;
    }
}

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