[BZOJ3206][APIO2013]道路费用(最小生成树)

3206: [Apio2013]道路费用

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Description

 

Input

第一行包含三个由空格隔开的整数N，M和K。

接下来的 M行描述最开始的M 条道路

这M行中的第i行包含由空格隔开的整数ai，bi和c i，表示有一条在a i和b i之间，费用为c i的双向道路。

接下来的K行描述新建的K条道路。

这 K行中的第i行包含由空格隔开的整数 xi和yi，表示有一条连接城镇xi和yi新道路

最后一行包含N个由空格隔开的整数，其中的第j个为pj，表示从城镇j 前往城镇 1的人数。

输入也满足以下约束条件。

1 ≤ N ≤ 100000；1 ≤ K ≤ 20；1 ≤ M ≤ 300000；对每个i和j，1 ≤ ci, pj ≤ 10^6；

注意：边权值可能相同

Output

你的程序必须输出恰好一个整数到标准输出，表示能获得的最大的收入。

Sample Input

5 5 1
3 5 2
1 2 3
2 3 5
2 4 4
4 3 6
1 3
10 20 30 40 50

Sample Output

400

HINT

在样例中， Mr. Greedy应该将新道路(1,3)的费用设置为 5分钱。

在这个费用下，他可以选择道路(3,5)，(1,2)，(2,4)和(1,3)来最小化总费用，这个费用为14。

从城镇 3出发的 30个人和从城镇 5出发的 50个人将经过新道路前往城镇 1，因此他可以获得为(30+50)_5=400 分钱的最好收入。

如果我们这样做，将新道路(1,3)的费用设置为 10分钱。

根据传统的限制，Mr. Greedy必须选择(3,5)，(1,2)，(2,4)和(2,3)，因为这是唯一费用最小的集合

。因此，在嘉年华的过程中道路(1,3)将没有任何收入。

Source

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这种题一般不是数据结构+分类讨论，就是缩图。

1.首先把K条边全部选上，这个时候图可能仍然不连通，于是将M条原边排序，从小到大加入直到图连通。根据M条边权值互不相同可以知道，加进来的这些原边是任意一个方案都必须有的。我们将原边构成的连通块缩成点，显然图最多只有K+1个点。

2.为了保证后面枚举的复杂度，我们要找到能将K+1个点连通起来的最小的K条边，可以发现后面枚举只会使用这K条原边。

3.$O(2^K)$枚举K条边并加入图中（如果构成环则退出），剩下的将选出的K条原边从小到大加入，建出当前方案下的MST。

4.现在需要确定每条Mr. Greedy的边的权值，根据MST的圈性质可知，边<u,v>的权值肯定不能大于MST上u到v的路径中原边的最大值，依次暴力确定即可。

时间复杂度$O(m\alpha(m)+K^22^K)$，理论上可能并不能过。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 typedef long long ll;
 using namespace std;

 const int N=,M=,inf=;
 int n,m,K,tot,tmp,cnt,rt,x,d[N],to[],nxt[],c[],f[N],h[N],fa[][N];
 ll sz[N],val[N],ans;
 struct E{ int x,y,z; bool operator <(const E &a)const{ return z<a.z; }; }a[M],b[];
 void add(int u,int v){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; }
 int get(int k,int x){ return (fa[k][x]==x) ? x : fa[k][x]=get(k,fa[k][x]); }
 void uni(int k,int x,int y){ int u=get(k,x),v=get(k,y); if (u!=v) fa[k][u]=v; }

 void dfs(int x){
     sz[x]=val[x];
     for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
         if ((k=to[i])!=fa[][x])
             fa[][k]=x,d[k]=d[x]+,dfs(k),sz[x]+=sz[k];
 }

 int main(){
     freopen("bzoj3206.in","r",stdin);
     freopen("bzoj3206.out","w",stdout);
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
     rep(i,,m) scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
     sort(a+,a+m+);
     rep(i,,n) fa[][i]=fa[][i]=i;
     rep(i,,K) scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y),uni(,b[i].x,b[i].y);
     rep(i,,m){
         int u=get(,a[i].x),v=get(,a[i].y);
         if (u!=v) fa[][u]=v,uni(,a[i].x,a[i].y);
     }
     rt=get(,);
     rep(i,,n) if (get(,i)==i) c[++tot]=i;
     rep(i,,n) scanf("%d",&x),val[get(,i)]+=x;
     rep(i,,m) a[i].x=get(,a[i].x),a[i].y=get(,a[i].y);
     rep(i,,K) b[i].x=get(,b[i].x),b[i].y=get(,b[i].y);
     rep(i,,m){
         int u=get(,a[i].x),v=get(,a[i].y);
         if (u!=v) a[++tmp]=a[i],fa[][u]=v;
     }
     for (int S=; S<<<K; S++){
         bool flag=; cnt=;
         rep(i,,tot) fa[][c[i]]=h[c[i]]=,f[c[i]]=inf,fa[][c[i]]=c[i];
         rep(i,,K) if (S&(<<(i-))){
             int u=get(,b[i].x),v=get(,b[i].y);
             if (u==v) { flag=; break; } fa[][u]=v;
             add(b[i].x,b[i].y); add(b[i].y,b[i].x);
         }
         if (flag) continue;
         rep(i,,K){
             int u=get(,a[i].x),v=get(,a[i].y);
             if (u!=v) fa[][u]=v,add(a[i].x,a[i].y),add(a[i].y,a[i].x);
         }
         dfs(rt);
         rep(i,,K){
             int u=a[i].x,v=a[i].y;
             if (d[u]<d[v]) swap(u,v);
             for (; d[u]!=d[v]; u=fa[][u]) f[u]=min(f[u],a[i].z);
             for (; u!=v; u=fa[][u],v=fa[][v]) f[u]=min(f[u],a[i].z),f[v]=min(f[v],a[i].z);
         }
         ll tmp=;
         rep(i,,K) if (S&(<<(i-))){
             int u=b[i].x,v=b[i].y;
             if (d[u]<d[v]) swap(u,v);
             tmp+=sz[u]*f[u];
         }
         ans=max(ans,tmp);
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }