Pairs Forming LCM 在a,b中(a,b<=n)(1 ≤ n ≤ 10^14),有多少组(a,b) (a<b)满足lcm(a,b)==n; lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pn ^ max(an,bn)

转自：http://www.cnblogs.com/shentr/p/5285407.html

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=109329#problem/B    全题在文末。

题意：在a,b中(a,b<=n)( ≤ n ≤ 10^14),有多少组(a,b)  (a<b)满足lcm(a,b)==n;

先来看个知识点：

素因子分解：n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pn ^ en

for i in range(,n):

        ei 从0取到ei的所有组合

必能包含所有n的因子。

现在取n的两个因子a,b

a=p1 ^ a1 * p2 ^ a2 *..........*pn ^ an

b=p1 ^ b1 * p2 ^ b2 *..........*pn ^ bn

gcd(a,b)=p1 ^ min(a1,b1) * p2 ^ min(a2,b2) *..........*pn ^ min(an,bn)

lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pn ^ max(an,bn)

哈哈，又多了种求gcd,lcm的方法。

题解：

先对n素因子分解，n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pk ^ ek，

lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pk ^ max(ak,bk)

所以，当lcm(a,b)==n时，max(a1,b1)==e1,max(a2,b2)==e2,…max(ak,bk)==ek

当ai == ei时，bi可取 [, ei] 中的所有数  有 ei+ 种情况，bi==ei时同理。

那么就有2(ei+)种取法,但是当ai = bi = ei 时有重复，所以取法数为2(ei+)-=*ei+。
除了 (n, n) 所有的情况都出现了两次  那么满足a<=b的有 (*ei + )) /  +  个

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+;
const int NN=1e6;
unsigned int prime[NN],cnt;           //prime[N]会MLE
bool vis[N];

void is_prime()
{
    cnt=;
    memset(vis,,sizeof(vis));
    for(int i=;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<N;j+=i)
            {
                vis[j]=;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    is_prime();
    int t;
    cin>>t;
    for(int kase=;kase<=t;kase++)
    {
        LL n;
        cin>>n;
        int ans=;
        for(int i=;i<cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
        {
            if(n%prime[i]==)
            {
                int e=;
                while(n%prime[i]==)
                {
                    n/=prime[i];
                    e++;
                }
                ans*=(*e+);
            }
        }
        if(n>)
            ans*=(*+);
        printf("Case %d: %d\n",kase,(ans+)/);
    }
}

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