MT【105】待定系数算最大最小

已知$x,y,z>0$,则$max\{2x,\frac{1}{y},y+\frac{1}{x}\}$的最小值______

分析:首先关注到$2x=\frac{1}{y}=y+\frac{1}{x}$时$x=\frac{\sqrt{3}}{2},y=\frac{\sqrt{3}}{3}$.容易得到如下解法:

设$t=max\{2x,\frac{1}{y},y+\frac{1}{x}\},则2t\ge\frac{2}{3}2x+\frac{1}{3}\frac{1}{y}+y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{3}\therefore t\ge\sqrt{3}$

评：先从等号入手得到取到最值时候的解，然后待定系数得到完整解答，perfect!