【读书笔记】组合计数-Tilings-引言部分

Tilings-引言部分

目录

• 一些形式化定义
• 各种各样的Tilings例子
  • • Example 9.1.1
    • Example 9.1.2
    • Example 9.1.3 Thurston and Lagarias-Romano
    • Example 9.1.4 Moore
    • Example ：domino tilings of Aztec diamonds
    • Example：lozenge tilings of hexagons
• #P-completeness

proto前缀 原始的，原型的

一些形式化定义

各种各样的Tilings例子

Example 9.1.1

那个最经典的例子，用\(1\times2\)多米诺填充\(2\times n\)地板

Example 9.1.2

Example 9.1.3 Thurston and Lagarias-Romano

Example 9.1.4 Moore

Example ：domino tilings of Aztec diamonds

Example：lozenge tilings of hexagons

Call a hexagon semiregular if its internal angles are 120 degrees and opposite sides are of equal length (a,b,c,a,b,c形式，看起来中心对称)

(more generally, call a polygon with an even number of sides semiregular if opposite sides are parallel and of equal length).

A semiregular hexagon with side-lengths a,b,c,a,b,c can be tiled by lozenges in exactly

\[\frac{H(a+b+c) H(a) H(b) H(c)}{H(a+b) H(a+c) H(b+c)}
\]

where \(H(0)=H(1)=1\) and \(H(n)=1 ! 2 ! \cdots(n-1) !\) for \(n>1\)

等价的表达式是

\[\prod_{i=1}^{a} \prod_{j=1}^{b} \prod_{k=1}^{c} \frac{i+j+k-1}{i+j+k-2}
\]

其实这个见的也多，大多数都是\(a=b=c\)的这种让你求方案数

#P-completeness

Hardly anyone believes that #P-complete problems can be solved efficiently. Beauquier, Nivat, Remila, and Robson [6], Moore and Robson [124], and Pak and Yang [129,130] have given examples of classes of two-dimensional tiling problems exhibiting #P-completeness. So there is little hope of solving the problem of counting tilings in its full generality, even in two dimensions. Still, there is much that can be done.

几乎没有人相信#P-complete问题可以被有效解决。Beauquier, Nivat, Remila, and Robson, Moore and Robson, and Pak and Yang已经给出了展现出#P-completeness的二维tiling类的一些例子。现在一般意义上的解决tiling计数问题希望渺茫，哪怕是在2维机会也是如此渺茫。然而，我们总是能做点什么工作。

By far the most successful theory of enumeration of two-dimensional tilings is the theory of perfect matchings of a planar graph.

目前为止二维tiling计数的最成功的理论是将tiling问题转化为平面图的完美匹配来解决。

机翻

求行列式

代数图的计数匹配问题是＃P-complete [168]，但是当图是平面的（或者离平面不是太远）时，计数匹配的问题可以简化为线性代数，具体来说，可以简化为矩阵的行列式（和Pfaffins）的评估 。这项技术是由数学物理学家Kasteleyn开发的，他（使用物理学家的语言）认为他的工作为评估“二聚体模型的分割函数”提供了一种方法（我们将在稍后解释该语言）。多亏了Kasteleyn的工作[78] [79] [80]，许多与平面上的枚举有关的理论体系都可以看作是行列式评估领域的子专业，这是由Krattenthale和其他学者开发的（例如参见[93]和[95]）。但是，在许多情况下，出现的矩阵不属于可以用已有的行列式分析方法处理的矩阵类；在这种情况下，唯一已知的求解行列式的方法将会很大程度上依赖分析这个tiling的组合和几何性质。

 

书用的是Handbook of Enumerative Combinatorics by Miklos Bona

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