编程之美 set 17 拈游戏分析 (2)

题目

有 N 块石头河两个玩家 A 和 B. A 先将石头分成若干堆, 然后按照 BABABA... 的顺序轮流取石块, 能将剩下的石头依次取光的玩家获胜. 每次取石头时, 每个玩家只能取一堆的 m(m>=1) 个石头

思路

1. 依然举例子.

当 N = 1 时, 输. N = 2 时, 可以分成 1, 1. 赢

当 N = 3 时, 分成 1, 2. 输

当 N = 4 时, 分成 2, 2, 赢

当 N = 5 时, (1,1,3) (1,2,2) (2,3) 都是输

总结

1. 稳赢叫做安全局面. 能一步跳到安全局面的叫做不安全局面. 不安全局面都是稳输的

2. 安全局面不能直接跳到安全局面, 即安全局面的任何走动都会跳到不安全局面

3. 不安全局面总可以一步跳到安全局面

因此当 N 为偶数时, 总是安全局面. 总是可以走到 (i,i) 的局面, 而 (1,1) 又是安全局面

当有奇数个时, 摆放成全1的形式, 总是先拿的赢

4. 使用亦或运算

当 M 为偶数时, 我们的取胜策略是把 M 分成相同的两份, 这样就能取胜

开始 (M1, M1) XOR(M1,M1) = 0

中途 (M1, M2) XOR(M1,M2) != 0

我方 (....)                          = 0

最终 我方胜

当 M 为奇数时, 摆放成全 1 的形式, 先拿着必赢

当 M 为奇数时,

开始 (M1, M2...Mn) XOR(...) != 0 比如不为 0 , 因为至少有 1 位为1

而当 XOR != 0 时, 总是可以将其一步变成 0

而 XOR == 0 时, 任意的挪动都会将其变成非 0

所以, 当 M 为奇数时, 先拿着必赢