数学 - SGU 118. Digital Root

Digital Root

Problem's Link

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Mean:

定义f(n)为n各位数字之和，如果n是各位数，则n个数根是f(n)，否则为f(n)的数根.

现在给出n个Ai，求出A1*A2*…*AN + A1*A2*…*AN-1 + … + A1*A2 + A1 这个式子的数根.

analyse:

这道题目要用到这个规律，设f(n)是n的digital root，那么f(A*N)=f(A*f(N));

具体证明过程如下：

　　设自然数N=a[n]a[n-1]…a[0]，其中a[0]，a[1]、…、a[n]分别是个位、十位、…上的数字

　　再设M=a[0]+a[1]+…+a[n]

　　求证：N≡M(mod 9).

　证明：
　　 ∵ N=a[n]a[n-1]…a[0]=a[n]*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
　　 又∵ 1≡1(mod 9),
　　 10≡1(mod 9),
　　 10^2≡1(mod 9),
　　 …
　　 10^n≡1(mod 9).
　　 上面这些同余式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a[n]，再相加得：
　　　　 a[0]+a[1]*10+…+a[n]*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a[n])(mod 9)，
　　　　　　　　　　　　　　　　 即 N≡M(mod 9)，得证。

　　有了这个性质就容易解决本题了

　　在计算过程中，可以不断mod 9，因为我们知道有这样两个性质：

　　　　(A+B)mod C = （(A mod C) + (B mod C)）mod C
　　　　(AB)mod C = ((A mod C)×(B mod C)) mod C

　还要注意，如果余数为0，则输出9.

Time complexity: O(N)

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