loj #6570. 毛毛虫计数

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$

hsezoi 巨佬 olinr 喜欢 van 毛毛虫，他定义毛毛虫是一棵树，满足树上存在一条树链，使得树上所有点到这条树链的距离最多为 1。 给定 n 。现在请你求出 n 个点、有标号的毛毛虫的数量。答案对 998244353 取模。

\(\color{#0066ff}{输入格式}\)

输入只有一行一个整数 n 。

\(\color{#0066ff}{输出格式}\)

输出一行，表示答案。

\(\color{#0066ff}{输入样例}\)

5

\(\color{#0066ff}{输出样例}\)

125

\(\color{#0066ff}{数据范围与提示}\)

对于 40% 的数据，对于第 \(i\) 个测试点有 \(n=i+4\)。

对于 100% 的数据，\(n\le 10^5\) 。

\(\color{#0066ff}{题解}\)

首先说一句，我很弱

对于一个毛毛虫，我们考虑毛毛虫的一个节，就是那条链上的一个点，可以有一些点接在它身上，假如说有k个点， 那么方案数就是k，（k个点中的一个作为毛毛虫的一节，剩下的k-1个挂在那个点上）

于是它的生成函数\(\begin{aligned}A(x)=\sum_{i\ge 1}i*\frac{x^i}{i!}=\sum_{i\ge 1}\frac{x^i}{(i-1)!}\end{aligned}\)（可以只有自己，没有点挂上去）

还有两个特殊点，就是这条链的两端，我们强制它至少挂上一个点，就是\(\begin{aligned}B(x)=\sum_{i\ge 2}\frac{x^i}{(i-1)!}\end{aligned}\)

然而你发现，少了菊花的情况，但是菊花的情况好统计，就是n

因此答案就是\(B(x)*\frac{1}{1-A(x)}*B(x)\)的第n项乘上n的阶乘除以2（正反算一个）再加上n

\(n\le 2\)要特判，然而并没有这样的数据

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
LL in() {
	char ch; LL x = 0, f = 1;
	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);
	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));
	return x * f;
}
using std::vector;
const int mod = 998244353;
const int maxn = 4e6 + 10;
int r[maxn], len;
LL ksm(LL x, LL y) {
	LL re = 1LL;
	while(y) {
		if(y & 1) re = re * x % mod;
		x = x * x % mod;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}
void FNTT(vector<int> &A, int flag) {
	A.resize(len);
	for(int i = 0; i < len; i++) if(i < r[i]) std::swap(A[i], A[r[i]]);
	for(int l = 1; l < len; l <<= 1) {
		int w0 = ksm(3, (mod - 1) / (l << 1));
		for(int i = 0; i < len; i += (l << 1)) {
			int w = 1, a0 = i, a1 = i + l;
			for(int k = 0; k < l; k++, a0++, a1++, w = 1LL * w * w0 % mod) {
				int tmp = 1LL * A[a1] * w % mod;
				A[a1] = ((A[a0] - tmp) % mod + mod) % mod;
				A[a0] = (A[a0] + tmp) % mod;
			}
		}
	}
	if(flag == -1) {
		std::reverse(A.begin() + 1, A.end());
		int inv = ksm(len, mod - 2);
		for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = 1LL * A[i] * inv % mod;
	}
}
vector<int> operator * (const vector<int> &A, const vector<int> &B) {
	int tot = A.size() + B.size() - 1;
	vector<int> C = A, D = B;
	for(len = 1; len <= tot; len <<= 1);
	for(int i = 0; i < len; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1));
	FNTT(C, 1), FNTT(D, 1);
	vector<int> ans;
	ans.resize(len);
	for(int i = 0; i < len; i++) ans[i] = 1LL * C[i] * D[i] % mod;
	FNTT(ans, -1);
	ans.resize(tot);
	return ans;
}
vector<int> operator - (const vector<int> &A, const vector<int> &B) {
	vector<int> ans;
	for(int i = 0; i < (int)std::min(A.size(), B.size()); i++) ans.push_back(A[i] - B[i]);
	if(A.size() < B.size()) for(int i = A.size(); i < (int)B.size(); i++) ans.push_back(-B[i]);
	if(A.size() > B.size()) for(int i = B.size(); i < (int)A.size(); i++) ans.push_back(A[i]);
	return ans;
}
vector<int> inv(const vector<int> &A) {
	if(A.size() == 1) {
		vector<int> ans;
		ans.push_back(ksm(A[0], mod - 2));
		return ans;
	}
	int n = A.size(), _ = (n + 1) >> 1;
	vector<int> ans, B = A;
	ans.push_back(2);
	B.resize(_);
	B = inv(B);
	ans = B * (ans - A * B);
	ans.resize(n);
	return ans;
}
int fac[maxn];
int main() {
	int n = in();
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % mod;
	std::vector<int> a, b;
	a.resize(n + 1, 0), b.resize(n + 1, 0);
	for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = mod - ksm(fac[i - 1], mod - 2);
	for(int i = 2; i <= n; i++) b[i] = ksm(fac[i - 1], mod - 2);
	a[0]++;
	a = inv(a);
	a = b * a * b;
	printf("%lld\n", (1LL * a[n] * fac[n] % mod * ksm(2, mod - 2) % mod + n) % mod);
	return 0;
}