cogs 1487. 麻球繁衍

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【题目描述】

万有引力定律：

“使物体相互靠近的力的大小与物体的质量成正比——而物体的质量又由同一种力决定。这是一个有趣并且有益的例子，说明了科学是如何用A证明B，再用B证明A的。”——安布罗斯·比尔斯（美国讽刺作家——译者注）。

你有一坨K个毛球（<星际迷航>中的种族——译者注）。这种毛球只会存活一天。在死亡之前，一个毛球有P_i的概率生出i个毛球(i=0,1,...,n-1)。m天后所有毛球都死亡的概率是多少？（包含在第m天前全部死亡的情况）

【输入格式】

输入包含多组数据。

输入文件的第1行是一个正整数N，表示数据组数。

每组数据的第1行有3个正整数n(1<=n<=1000),k(0<=k<=1000),m(0<=m<=1000)。

接下来有n行，给出P_0,P_1,...,P_n-1。

【输出格式】

对于第i组数据，输出"Case #i: "，后面是第m天后所有毛球均已死亡的概率。

【样例输入】

3 1 1

0.33

0.34

0.33

3 1 2

0.33

0.34

0.33

3 1 2

0.5

0.0

0.5

4 2 2

0.5

0.0

0.5

【样例输出】

Case #1: 0.3300000

Case #2: 0.4781370

Case #3: 0.6250000

Case #4: 0.3164063

【提示】

如果你的输出与标准答案相差不超过10^-5，那么你的答案就被认为是正确的。

【来源】

刘汝佳，《算法竞赛入门经典训练指南》表2.8

题解：

　　由于每个毛球之间是死是活还是生与其他毛球毫无关系，所以不妨先把初始的毛球看成一个，然后把算出的答案转化成ans^k即可。

　　令f[i]表示一只毛球活i天的概率，这个毛球可能是从前几天出生来的，所以f[i]=p0+p1*f[i-1]^1+p2*f[i-1]^2+....+p(n-1)*f[i-1]^(n-1)，可以这么理解:因为所有毛球仅能存活一天，所以生在i-1天的毛球一定会在第i天卒，那么对f[i]的答案有贡献的就只有f[i-1]了。假设M=2，N=3，K=1。则f[2]=p0+p1*f[i-1]+p2*f[i-2]^2，p0表示这只毛球不生直接卒，p1*f[i-1]表示这只毛球在一开始生了p1只毛球，这p1只毛球坚持i-1天卒了，由于毛球之间互不影响所以对于概率要乘上f[i-1]的一次方，p2*f[i-1]^2同理。其实这应该是一个递归的过程，但既然式子推出来了，改成递推也无妨。

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstdlib>

 #include<cstring>

 #include<cmath>

 #include<algorithm>

 #include<queue>

 #include<vector>

 using namespace std;

 typedef long long LL;

 int T,N,K,M;

 double p[],f[];

 inline double poww(double a,int b){

     double base=a,ans=1.0000;

     while(b){

         if(b&) ans*=base;

         base*=base; b>>=;

     }

     return ans;

 }

 int main(){

     freopen("tribbles.in","r",stdin);

     freopen("tribbles.out","w",stdout);

     scanf("%d",&T);

     for(int t=;t<=T;t++){

         scanf("%d%d%d",&N,&K,&M); memset(f,,sizeof(f));

         for(int i=;i<N;i++) scanf("%lf",&p[i]);

         f[]=p[];

         for(int i=;i<=M;i++){

             for(int j=;j<=N-;j++){

                 f[i]+=p[j]*poww((f[i-]),j);

             }

         }

         double ANS=1.000;

         for(int i=;i<=K;i++) ANS*=f[M];

         printf("Case #%d: %.7lf\n",t,ANS);

     }

     return ;

 }