LCA（最近公共祖先）

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求LCA的方法有很多，在这里就只介绍一种离线算法，Tarjan算法！ 可以保证在O(n+q)的时间复杂度内算出所有答案（n是节点个数  q是询问个数）

为什么叫离线算法呢？  因为这种算法的思想是先把所有的询问存起来，在遍历的树的同时遍历这颗子树包含的询问：

本算法结合了深度优先搜索（DFS）和并查集的思想，下面说一下大体流程：

　　对于新搜索的到的结点，首先要创建由这个节点构成的集合，再对当前节点的每一颗子树进行搜索，每搜索完一颗子树要保证子树内的LCA询问都已解决。其它的LCA必定在

这个子树之外，这时把子树所形成的的集合与当前节点的集合合并，并把当前节点设为这个集合的祖先 。之后继续搜索下一颗子树，直到当前节点的所有子树搜索完。这时把当前节点也设为已经访问过的结点

同时处理有关当前节点的询问，如果有一个当前节点到节点v的询问，且被检查过，则由于进行的是深度优先搜索，当前节点与v的最近公共祖先一定还没有被检查过，而这个最近公共祖先的包含v的子树

一定已经搜索过了，那么这个最近公共祖先一定是v集合所在集合的祖先。

如图：

根据实现算法可以看出，只有当某一棵子树全部遍历处理完成后，才将该子树的根节点标记为黑色（初始化是白色），假设程序按上面的树形结构进行遍历，首先从节点1开始，然后递归处理根为2的子树，当子树2处理完毕后，节点2， 5， 6均为黑色；接着要回溯处理3子树，首先被染黑的是节点7（因为节点7作为叶子不用深搜，直接处理），接着节点7就会查看所有询问(7, x)的节点对，假如存在(7, 5)，因为节点5已经被染黑，所以就可以断定(7, 5)的最近公共祖先就是find(5).ancestor，即节点1（因为2子树处理完毕后，子树2和节点1进行了union，find(5)返回了合并后的树的根1，此时树根的ancestor的值就是1）。有人会问如果没有(7, 5)，而是有(5, 7)询问对怎么处理呢? 我们可以在程序初始化的时候做个技巧，将询问对(a, b)和(b, a)全部存储，这样就能保证完整性。

 

代码分为六块：

1、输入树：只需要存x->y有一条边 并不需要存双向边，因为是从根节点开始走的  （也就是入度为0的点） 同时找到根节点

2、输入询问：注意如果查询u v的最近公共祖先   v u也存进去  （上面已经说明了原因）

3、初始化并查集

4、初始化所有点的祖先

5、初始化所有点都没有被检查过

6、Tarjan算法：其实就是深搜 再把搜完的子树和当前节点合并为一个集合   祖先是当前节点。  当搜索完所有的子树之后   标记当前节点为访问过   并查询所有与当前节点有关的询问。。

 

参考代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=;//最大顶点数
int n,root;//实际顶点数 树根节点
int indeg[maxn];//顶点入度  用来判断树根
vector<int> tree[maxn];//树的邻接表（不一定是二叉树）
void inputTree()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=;i<n;i++) tree[i].clear(),indeg[i]=;//初始化树  顶点编号从0开始
    for(int i=;i<n;i++)//输入n-1条边
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        tree[x].push_back(y);//x->y有一条边
        indeg[y]++;//加入邻接表 y入度加一
    }
    for(int i=;i<n;i++)//寻找树根 入度为0的点
    {
        if(indeg[i]==)
        {
            root=i;
            break;
        }
    }
}
vector<int> query[maxn];//所有查询内容
void inputQuires()//输入查询
{
    for(int i=;i<n;i++)//清空上次查询的内容
        query[i].clear();
    int m;
    scanf("%d",&m);
    while(m--)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);//查询u和v的lca
        query[u].push_back(v);
        query[v].push_back(u);
    }
}
int father[maxn],rnk[maxn];//节点的父亲 秩
void makeSet()//初始化并查集
{
    for(int i=;i<n;i++)
    {
        father[i]=i;
        rnk[i]=;
    }
}
int findSet(int x)//查找祖先
{
    return father[x]==x?x:father[x]=findSet(father[x]);
}
void unionSet(int x,int y)//合并
{
    x=findSet(x);
    y=findSet(y);
    if(x==y) return;
    if(rnk[x]>rnk[y]) father[y]=x;
    else
    {
        father[x]=y;
        if(rnk[x]==rnk[y]) rnk[y]++;
    }
}
int ancestor[maxn];//已经访问节点集合的祖先
bool vs[maxn];//访问标记
void Tarjan(int x)//Tarjan算法求解lca
{
    for(int i=;i<tree[x].size();i++)
    {
        Tarjan(tree[x][i]);//访问子树
        unionSet(x,tree[x][i]);//将子树节点与根节点x的集合合并
        ancestor[findSet(x)]=x;//合并后的集合的祖先为x
    }
    vs[x]=;//标记为访问过
    for(int i=;i<query[x].size();i++)//与根节点有关的查询
    {
        if(vs[query[x][i]]) //如果查询的另一个节点已经访问过 则输出结果
            printf("%d和%d的最近公共祖先为：%d\n",x,query[x][i],ancestor[findSet(query[x][i])]);
    }
}
int main()
{
    inputTree();//输入树
    inputQuires();//输入查询
    makeSet();
    for(int i=;i<n;i++) ancestor[i]=i;
    memset(vs,,sizeof(vs));
    Tarjan(root);
    return ;
}