【中国剩余定理-入门】-C++

中国剩余定理也称孙子定理，是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。

这玩意在luogu居然有模板题：

[TJOI2009]猜数字

先来看一个问题：

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”

熟悉吗小学数学学过吗

这样的问题是基本的中国剩余定理的运用，解题过程有三步：

1. 找出三个数：从\(3\)和\(5\)的公倍数中找出被\(7\)除余\(1\)的最小数\(15\)，从\(3\)和\(7\)的公倍数中找出被\(5\)除余\(1\)的最小数\(21\)，最后从\(5\)和\(7\)的公倍数中找出除\(3\)余\(1\)的最小数\(70\)。
2. 用\(15\)乘以\(2\)（\(2\)为最终结果除以\(7\)的余数），用\(21\)乘以\(3\)（\(3\)为最终结果除以\(5\)的余数），同理，用\(70\)乘以\(2\)（\(2\)为最终结果除以\(3\)的余数），然后把三个乘积相加\(15∗2+21∗3+70∗2\)得到和\(233\)。
3. 用\(233\)除以\(3，5，7\)三个数的最小公倍数\(105\)，得到余数\(23\)，即\(233%105=23\)。这个余数23就是符合条件的最小数。

不得不佩服古人的智慧

然后看回题目（链接在开头）

\[\begin{cases}
(n-a_1)|b_1\\
(n-a_2)|b_2\\
...\\
(n-a_k)|b_k
\end{cases}\\
\]

变形成同余方程组之后：

\[\begin{cases}
(n-a_1≡0)\pmod {b_1}\\
(n-a_2≡0)\pmod {b_2}\\
...\\
(n-a_k≡0)\pmod {b_k}\\
\end{cases}
\]

很明显的，

如果\(a≡b\pmod{m}\)，则\(a+c≡b+c\pmod{m}\)成立。

这个不难理解，稍微理解一下就可以了。

然后把上面同余方程组变形一下：

\[ \begin{cases}\\
n\equiv a_1(\mod b_1)\quad \\ n\equiv a_2(\mod b_2)\quad \\ ...\quad \\
n\equiv a_k(\mod b_k)\quad \\ \end{cases}\\
\]

然后到这里就是中国剩余定理的裸题了。但是需要注意的是因为题目问题，我们需要对每一个\(a_i\)作这样的操作：

\(
a[i]=(a[i]\mod b[i]+b[i])modb[i];
\)

然后还需要注意的就是，这道题目因为数据良(bian)心(tai)，所以还需要用快速乘来防止爆long long的情况。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll a[110],b[110];
ll k;
inline int read()
{
   int x=0,f=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){
       if(ch=='-')
           f=-1;
       ch=getchar();
   }
   while(ch>='0'&&ch<='9'){
       x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
       ch=getchar();
   }
   return x*f;
}
inline ll qmul(ll a, ll b, ll m)
{
    ll res=0;
    while(b>0)
	{
        if(b&1)res=(res+a)%m;
        a=(a+a)%m;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
	return;
}
ll China()
{
	ll ans=0,lcm=1;
	for(ll i=1;i<=k;i++)
		lcm*=b[i];
	ll x,y;
    for(ll i=1;i<=k;i++)
    {
        ll p=lcm/b[i];
        exgcd(p,b[i],x,y);
        x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
        ans=(ans+qmul(qmul(p,x,lcm),a[i],lcm))%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}
int main()
{
	cin>>k;
	for(int i=1;i<=k;i++)
		a[i]=read();
	for(int i=1;i<=k;i++)
		b[i]=read(),a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i];
	cout<<China();
	return 0;
}

ov.