洛谷 题解 UVA1151 【买还是建 Buy or Build】

【题意】

平面上有\(n(n<=1000)\)个点，你的任务是让所有n个点联通。为此，你可以新建一些边，费用等于两个端点的欧几里得距离平方。另外还有\(q(q<=8)\)个套餐可以购买，如果你购买了第\(i\)个套餐，该套餐中的所有结点将变得相互连接。第\(i\)个套餐的花费为\(C_i\)。

【算法】

\(Kruskal\)

【分析】

最容易想到的算法是：先枚举购买哪些套餐，把套餐中包含的权值设为\(0\)，然后求最小生成树。由于枚举量为\(O(2^q)\)，给边排序的时间复杂度为\(O(n^2logn)\)，而排序之后每次\(kruskal\)算法的时间复杂度为\(O(n^2)\)，因此总时间复杂度为\(O(2^qn^2+n^2logn)\)，对于题目来说的规模太大了。

只需一个小小的优化即可降低时间复杂度：先求一次原图 (不购买任何套餐) 的最小生成树，得到\(n-1\)条边，其余的边就没用了。然后枚举买哪些套餐（这里可以用状态压缩的思想），则枚举套餐后再求最小生成树时，图上的边已经寥寥无几。

为什么可以这样呢？ 大部分题解都没有证明。这里给出证明过程

首先回顾一下，在\(kruskal\)算法中，哪些边不会进入最小生成树。答案是：两端已经属于同一个集合的边。买了套餐后，相当于一些边的边权变成了\(0\)，而对于不在套餐中的每条边\(e\)，排序在\(e\)之前的边一个都没少，反而还多了一些权值为\(0\)的边，所以在原图\(kruskal\)时被“扔掉”的边，在后面的枚举套餐中也一样会被扔掉。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1000+10;
const int MAXM=MAXN*MAXN;
int n,q,T,ans=0x3f3f3f3f;
int s[10][MAXN];
int c[10];
struct Node2
{
    int x,y;
}city[MAXN];
struct Node
{
    int u,v,w;
}edge[MAXM],g[MAXM];
int cnt,m;
int fa[MAXN];
int save[MAXN];
inline int read()
{
    int tot=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
        c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')
    {
        tot=tot*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return tot;
}
inline bool cmp(Node x,Node y)
{
    return x.w<y.w;
}
inline int find(int k)
{
    if(fa[k]==k)return k;
    else return fa[k]=find(fa[k]);
}
inline int init_kruskal()
{
    int tot=0,cc=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        if(fa[find(edge[i].u)]!=fa[find(edge[i].v)])
        {
            fa[find(edge[i].u)]=find(edge[i].v);
            tot++;
            cc+=edge[i].w;
            save[tot]=i;//记录边
        }
        if(tot==n-1)break;
    }
    return cc;
}
inline int kruskal(int tot)
{
    int cc=0,t=tot;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(find(g[i].u)!=find(g[i].v))
        {
            fa[find(g[i].u)]=find(g[i].v);
            t++;
            cc+=g[i].w;
        }
        if(t==n-1)break;
    }
    return cc;
}
inline void solve()
{
    for(int ss=0;ss<(1<<q);ss++)//状压思想，用二进制来表示选还是不选
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;//初始化并查集
        int tot=0;//选中套餐中被连接的点数
        int cc=0;//套餐的钱
        for(int k=1;k<=q;k++)
        {
            if(ss&(1<<(k-1)))//如该套餐被选中
            {
                //cout<<k<<" ";
                cc+=c[k];
                for(int i=1;i<=s[k][0];i++)
                {
                    for(int j=i+1;j<=s[k][0];j++)
                    {
                        //cout<<s[k][0]<<" "<<k<<" "<<s[k][i]<<" "<<s[k][j]<<endl;
                        if(find(s[k][i])!=find(s[k][j]))
                        {
                            fa[find(s[k][i])]=find(s[k][j]);
                            tot++;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        //cout<<endl;
        //cout<<cc<<endl;
        //cout<<tot<<" "<<kruskal(tot)<<" "<<cc<<endl;
        ans=min(ans,kruskal(tot)+cc);//更新最小值
    }
}
int main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
        cnt=0;
        n=read();q=read();
        for(int i=1;i<=q;i++)
        {
            s[i][0]=read();c[i]=read();
            for(int j=1;j<=s[i][0];j++)
                s[i][j]=read();//读入套餐
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            city[i].x=read(),city[i].y=read();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
            {
                edge[++cnt].u=i;
                edge[cnt].v=j;
                edge[cnt].w=(city[i].x-city[j].x)*(city[i].x-city[j].x)+(city[i].y-city[j].y)*(city[i].y-city[j].y);
            }
        }
        sort(edge+1,edge+1+cnt,cmp);
        ans=init_kruskal();//原始图的最小生成树
        //cout<<ans<<endl;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            g[i].u=edge[save[i]].u;
            g[i].v=edge[save[i]].v;
            g[i].w=edge[save[i]].w;
        }//建一个新图
        /*for(int i=1;i<n;i++)
        {
            cout<<g[i].u<<" "<<g[i].v<<" "<<g[i].w<<endl;
        }
        cout<<endl;*/
        solve();//准备枚举
        cout<<ans<<endl;
        if(T)cout<<endl;//UVA不会省略最后的换行符
    }
    return 0;
}