【[SCOI2008]奖励关】

又抄了一篇题解

要凉了要凉了，开学了我还什么都不会

文化课凉凉，NOIP还要面临爆零退役的历史进程

这道题挺神的，期望+状态压缩

我们设\(dp[i][S]\)表示在第\(i\)天前，捡的宝物状态为\(S\)到第\(K\)天结束的期望收益是多少

于是我们的答案是\(dp[1][0]\)，也就是第一天前（就是没开始）什么宝物也没有到结束的期望是多少

期望倒着推，我们的初始状态就是\(dp[k+1]=\{0\}\)

之后对于一个状态\(dp[i][S]\)

在第\(i\)天\(m\)种宝物出现的概率都是\(1/m\)

所以枚举每一种宝物\(j\)，如果这个宝物的前提条件被\(S\)包含

就有

\[dp[i][S]+=max(dp[i+1][S|(1<<(j-1))]+val[j],dp[i+1][S])*1/m
\]

就是就算可以选择这个宝物的话，我们也两种选择拿或者不拿这个宝物

如过没有被包含，你只能不拿这个宝物

\[dp[i][S]+=dp[i+1][S]*1/m
\]

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define re register
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
inline int read()
{
	char c=getchar();
	int x=0,r=1;
	while(c<'0'||c>'9')
	{
		if(c=='-') r=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9')
	  x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
	return x*r;
}
double dp[102][32769];
int n,m,N;
int cost[16];
int f[16];
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(re int i=1;i<=m;i++)
	{
		cost[i]=read();
		int x=read(),y=0;
		while(x) y|=1<<(x-1),x=read();
		f[i]=y;
	}
	N=(1<<m)-1;
	for(re int i=0;i<=N;i++) dp[n+1][i]=0;
	for(re int i=n;i;i--)
	for(re int j=0;j<=N;j++)
	{
		for(re int k=1;k<=m;k++)
		if(((f[k]|j)==j))
		{
			dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|(1<<(k-1))]+cost[k])/double(m);
		}else dp[i][j]+=dp[i+1][j]/double(m);
	}
	printf("%.6lf",dp[1][0]);
	return 0;
}