定义

快速求a^b%c的算法

原理

指数可以被二进制分解

那么a^b可以分解为a^2^k1*a^2^k2*……

又显然a^2^(k+1)=a^(2^k*2)=(a^2^k)^2

所以可以将指数在二进制下从低位向高位递推,每次将底数平方,若该位是1就将答案乘上底数,直到指数为0。

实现时可以每次将指数/2方便处理

位运算优化

x&1:取x二进制下最后一位

x>>1:x/2

代码

int quickpow(int a,int b,const int c)
{
int base=a%c,ans=;
while(b)
{
if(b&)
ans=ans*base%c;
base=base*base%c;
b>>=;
}
return ans;
}

快速幂

例题

一、序列的第k个数

根据元素之差判断是不是等差数列,不是等差数列即为等比数列

推通项公式时注意序列起始为a

#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
int stk[],tt;
void print(ll x)
{
if(x==)
putchar('');
else
{
if(x<)
putchar('-'),x=-x;
tt=;
while(x)
{
stk[++tt]=x%;
x/=;
}
for(re i=tt;i;i--)
putchar(stk[i]|);
}
}
int read()
{
int x=,f=;
char c=getchar();
while(!isdigit(c))
{
f|=c=='-';
c=getchar();
}
while(isdigit(c))
{
x=(x<<)+(x<<)+(c^);
c=getchar();
}
return f?-x:x;
}
const int MOD=;
ll quickpow(int a,int b,const int c)
{
ll base=a%c,ans=;
while(b)
{
if(b&)
ans=ans*base%c;
base=base*base%c;
b>>=;
}
return ans;
}
int main()
{
int T=read();
ll a,b,c,k;
while(T--)
{
a=read(),b=read(),c=read(),k=read();
if(b-a==c-b)
print((a+(b-a)*(k-))%MOD);
else
print(a*quickpow(b/a,k-,MOD)%MOD);
putchar('\n');
}
return ;
}

序列的第k个数

二、[NOIP2013]转圈游戏

走10^k轮即移动m*10^k个位置,再加上x取模即可

#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
int stk[],tt;
void print(int x)
{
if(x==)
putchar('');
else
{
if(x<)
putchar('-'),x=-x;
tt=;
while(x)
{
stk[++tt]=x%;
x/=;
}
for(re i=tt;i;i--)
putchar(stk[i]|);
}
}
int read()
{
int x=,f=;
char c=getchar();
while(!isdigit(c))
{
f|=c=='-';
c=getchar();
}
while(isdigit(c))
{
x=(x<<)+(x<<)+(c^);
c=getchar();
}
return f?-x:x;
}
ll quickpow(int a,int b,const int c)
{
ll base=a%c,ans=;
while(b)
{
if(b&)
ans=ans*base%c;
base=base*base%c;
b>>=;
}
return ans;
}
int main()
{
int n=read(),m=read(),k=read(),x=read();
ll ans=(x+m*quickpow(,k,n))%n;
print(ans);
putchar('\n');
return ;
}

转圈游戏

三、[HNOI2008]越狱

可越狱方案数不好求,但从容斥原理的角度,答案可以表示成总排列数-不可越狱排列数

这两个数都很好求,总排列数=m^n,不可越狱排列数考虑第一个数有m种选法,后面每个数都只有m-1种选法,于是=m*(m-1)^(n-1)

#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
int stk[],tt;
void print(int x)
{
if(x==)
putchar('');
else
{
if(x<)
putchar('-'),x=-x;
tt=;
while(x)
{
stk[++tt]=x%;
x/=;
}
for(re i=tt;i;i--)
putchar(stk[i]|);
}
}
ll read()
{
ll x=;
int f=;
char c=getchar();
while(!isdigit(c))
{
f|=c=='-';
c=getchar();
}
while(isdigit(c))
{
x=(x<<)+(x<<)+(c^);
c=getchar();
}
return f?-x:x;
}
const int MOD=;
ll quickpow(int a,ll b)
{
ll base=a%MOD,ans=;
while(b)
{
if(b&)
ans=ans*base%MOD;
base=base*base%MOD;
b>>=;
}
return ans;
}
inline int mod(ll a)
{
a%=MOD;
if(a<)
a+=MOD;
return a;
}
int main()
{
ll m=read(),n=read();
print(mod(quickpow(m,n)-m*quickpow(m-,n-)));
putchar('\n');
return ;
}

越狱

注意事项

1、根据题目数据范围适当修改快速幂函数中数据的类型

2、取模的数可能<0时注意实际意义

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