网络流 ISAP算法

网络流问题：

我自己理解，在流网络中，在不违背容量限制的条件下，解决各种从源点到汇点的问题。

ISAP算法概念：

据说不会有卡ISAP时间的题目………时间复杂度O(E^2*V)

首先原理都是基于不断寻找增广路，属于增广路方法。普通的SAP算法比如EK算法，Dinic 算法，由于在寻找增广路时，都需要先进行BFS，BFS时间复杂度O(E)，所以总的时间复杂度最坏情况达到O(VE2)。

ISAP算法的优化在于距离标号，即每个顶点到达终点 t 的距离。所以可以在遍历的过程中，就建立了一个分层网络，不需要每一次都对全图进行BFS遍历，提高了效率。

算法实现过程：

1.反向 BFS 初始化所有顶点的距离标号。（由于在在循环中自动建立起分层网络，所以不需要进行也可以，据大神博客，有无相差5%的时间左右）。

2.当前顶点 V为终点时增广。

3. 当前顶点有满足 dist[V] = dist[j] + 1 的出弧时前进。

4. 当前顶点无满足条件的出弧时重标号并回退一步。整个循环当源点 s 的距离标号 dist[s] >= n 时结束。对V点的重标号操作为 dist[i] = 1 + min。min为对于V相邻的dis最小（离汇点最近）的点。

先对几个概念的理解：

1.增广路：假设我们已经找到了一条从源点到汇点的路径，如果这条路上得每一段路径的此时的流量都小于容量，那么可以确定一个最小的差delta，那么每一段加上delta，就可以得到一个更大的流，即增广路。

2.距离标号：就是某个点到汇点的最少的弧的数量（即边权值为1时某个点到汇点的最短路径长度）。设点i的标号为level[i]，那么如果将满足level[i]=level[j]+1的弧(i,j)叫做允许弧 ，且增广时只走允许弧。

3.反向边：简单的说反向边的作用就是给程序一个可以后悔的机会。直接说原因，寻找最优增广路（最大流）其实是有一定的顺序，但是程序不可能预知，所以在每一次对于流量的操作，都 在反方向增加一个回溯流量。

即 map[pre[i]][i]-=aug;

map[i][pre[i]]+=aug;

4.断层（GAP优化思想）：gap[i]数组表示距离标号为i的点有多少个，如果到某一点没有符合距离标号的允许弧，那么需要修改距离标号来找到增广路。如果重标号使得gap数组中原标号数目变为0，即修改则无法到达，则算法结束。

代码：

具体还是一遍遍看代码理解….

例题：hdu 1532http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1532

邻接矩阵版：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 222
#define inf 100000000+1000
int map[MAXN][MAXN];//存图
int pre[MAXN];//记录当前点的前驱
int level[MAXN];//记录距离标号
int gap[MAXN];//gap常数优化
int NV,NE;

//可以加入一个反向的BFS，优化些许时间。

//入口参数vs源点，vt汇点
int SAP(int vs,int vt){
    memset(pre,-1,sizeof(pre));
    memset(level,0,sizeof(level));
    memset(gap,0,sizeof(gap));
    gap[0]=vt;
    int v,u=pre[vs]=vs,maxflow=0,aug=inf;
    while(level[vs]<vt)
    {
        //寻找可行弧
        for(v=1;v<=vt;v++){
            if(map[u][v]>0&&level[u]==level[v]+1){
                break;
            }
        }
        if(v<=vt){
            pre[v]=u;
            u=v;
            if(v==vt){
                aug=inf;
                //寻找当前找到的一条路径上的最大流
                for(int i=v;i!=vs;i=pre[i]){
                    if(aug>map[pre[i]][i])aug=map[pre[i]][i];
                }
                maxflow+=aug;
                //更新残留网络
                for(int i=v;i!=vs;i=pre[i]){
                    map[pre[i]][i]-=aug;
                    map[i][pre[i]]+=aug;
                }
                u=vs;//从源点开始继续搜
            }
        }
        else {
            //找不到可行弧
            int minlevel=vt;
            //寻找与当前点相连接的点中最小的距离标号
            for(v=1;v<=vt;v++){
                if(map[u][v]>0&&minlevel>level[v]){  //离vt最近的点
                    minlevel=level[v];
                }
            }
            gap[level[u]]--;//(更新gap数组）当前标号的数目减1；
            if(gap[level[u]]==0)
            break;//出现断层  如果出现断层，则该点为一个唯一点，后退也没有意义
            level[u]=minlevel+1;
            gap[level[u]]++;
            u=pre[u];   //相当于后退一步
        }
    }
    return maxflow;
}

int main(){
    int n,m,u,v,cap;
    while(~scanf("%d%d",&m,&n)){
        memset(map,0,sizeof(map));
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&cap);
            map[u][v]+=cap;
        }
        printf("%d\n",SAP(1,n));
    }
    return 0;
}